3.6. Исследование интегральной функции Лапласа

Проведем исследование интегральной функции :

. (3.9)

1. Область определения: .

2. Четность:

,

то есть функция нечетная, ее график симметричен относительно начала координат.

3. Исследование на экстремум:

– производная интеграла по верхнему пределу.

, поэтому точек экстремума нет.

4. Определение точек перегиба:

, , если .

	+	–		,

то есть, является точкой перегиба.

Если , то .

5. Асимптоты: вертикальных асимптот нет, найдем наклонные асимптоты .

,

.

То есть, учитывая симметрию – горизонтальные асимптоты. График интегральной функции представлен на рис. 3.2.

Рис. 3.2. График интегральной функции Лапласа

Функция применяется также при изучении непрерывных случайных величин.

3.7. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях

Известно, что отношение числа испытаний в которых со­бытие появилось, к общему числу фактически проведенных испытаний, называют относительной частотой события где – число появлений события , – общее число испы­таний.

Различие между вероятностью и относительной частотой состоит в том, что первая вычисляется до испытания, а вторая – после него.

Одной из важных характеристик независимых ис­пытаний с постоянной вероятностью появления события в каждом испытании является отклонение относительной частоты от вероятности .

Теорема. Пусть в независимых испытаниях вероятность события постоянна и равна . Тогда вероятность того, что абсолютная величина отклонения относительной частоты от своей вероятности меньше, чем на равна , где определяется формулой , – интегральная функция Лапласа:

. (3.10)

Пример 6. Для определения качества выпускаемой продукции отобраны изделий. Вероятность того, что изделие высокого качества равна .

Найти:

а) вероятность того, что относительная частота отклонится от вероятности на величину ;

б) точность , с которой вероятность отклонения относительной частоты от вероятности составляет ;

в) сколько надо взять изделий, чтобы с точностью вероятность отклонения относительной частоты от вероятности была .

Решение:

а) , где , откуда

.

По таблице значений интегральной функции .

Следовательно ;

б) по условию .

Тогда , откуда , .

Следовательно, искомая точность ;

в) по условию задачи , .

Тогда , откуда .

По формуле , тогда: .

Следовательно , то есть для контроля необходимо взять не менее 613 изделий.

A

B

A

Лекция 4. Законы распределения и числовые характеристики случайных величин

4.1. Определение случайных величин и их классификация

Случайной величиной называется функция, ставящая в соответствие каждому элементарному исходу число. При этом множество элементарных исходов принадлежит алгебре событий. Случайная величина это переменная величина, значения которой зависят от ряда случайных факторов, причем в результате испытаний она может принимать случайные, заранее неизвестные значения.

Тот факт, что случайная величина принимает определенное значение, называется случайным событием.

Случайные величины обозначают большими буквами латинского алфавита , , и другими, а их возможные значения – соответствующими маленькими буквами. Например, – случайная величина, ее возможные значения – , , ... , .

Различают дискретные и непрерывные случайные величины.

Случайная величина называется дискретной, если в результате испытания она может принимать конкретные, вполне определенные изолированные значения, их может быть конечное или бесконечное число. Например, размер обуви является дискретной случайной величиной.

Случайная величина называется непрерывной, если в результате испытаний она может принимать любые значения, принадлежащие некоторому интервалу Например, рост людей является непрерывной случайной величиной.