3.2. Локальная теорема Муавра – Лапласа

Если вероятность появления события в каждом из независимых испытаний постоянна, а число испытаний достаточно большое ( ), то вероятность того, что в этих испытаниях событие произойдет раз, вычисляется по формуле Муавра – Лапласа:

, (3.3)

где , (3.4)

– дифференциальная функция Лапласа,

.

Таблицу значений функции можно найти в приложении (табл. А.1). Исследование функции приведено ниже.

Отметим лишь, что в таблице приведены значения для положительных значений , потому что  четная функция, то есть .

Для значений следует считать, что .

Пример 4. Вероятность рождения мальчика равна 0,515. Найти вероятность того, что из 200 рожденных детей количество мальчиков и девочек будет одинаковым.

Решение.

В данном случае ; ; ; ; .

Значение , которое соответствует согласно формуле (3.4), равно:

.

Так как, , то по формуле (27.3) получим:

.

3.3. Формула Пуассона

Если в каждом испытании вероятность появления события постоянна и достаточно мала, а число испытаний достаточно большое, то вероятность того, что событие произойдет раз, приблизительно равна:

, (3.5)

где , .

Доказательство.

По условию , т. е.

По формуле Бернулли имеем:

.

Если , то

.

То есть .

Для упрощения расчетов по формуле (3.5) можно использовать таблицу значений функции Пуассона, которая приведена в приложении (табл. Б.1).

3.4. Интегральная теорема Муавра – Лапласа

Если вероятность появления события в каждом испытании постоянна, а число испытаний достаточно велико, то вероятность того, что событие произойдет не менее и не более раз ( ), приближенно равна:

, (3.6)

где

, . (3.7)

В формуле (3.6) функция – это интегральная функция Лапласа, которая определяется равенством:

.

Значение функции приведено в приложении (табл. В.1), где можно найти значение этой функции лишь для .

Для используют ту же таблицу, так как функция является нечетной, то есть . Для можно принять .

Пример 5. Вероятность того, что деталь изготовлена с нарушением стандартов . Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей нестандартных окажется от 70 до 100.

Решение.

По формулам (3.7) при , , , , вычисляем и :

, .

По формуле (3.6) вычислим вероятность искомого события:

.

По таблице значений функции находим .

Тогда

.

3.5. Исследование дифференциальной функции Лапласа

Проведем исследование дифференциальной функции :

. (3.8)

1. Область определения: .

2. Четность: – функция четная, то есть график функции симметричен относительно оси .

3. Исследование на экстремум:

, , если ;

, , то есть является точкой максимума.

Если , то .

4. Определение точек перегиба: , если .

Тогда:

	+	–	+		,

то есть, являются точками перегиба.

Если , то , если , то .

5. Асимптоты: вертикальных асимптот нет. Найдем наклонные асимптоты:

,

.

То есть, график функции имеет горизонтальную асимптоту .

График дифференциальной функции изображен на рис. 3.1.

0,4

Рис. 3.1. График дифференциальной функции