2.2. Условная вероятность, теоремы умножения вероятностей

События называются зависимыми, если появление одного из них зависит от появления другого.

Вероятность события , которая вычисляется при условии, что событие уже произошло, называется условной вероятностью события и обозначается . Условная вероятность обладает всеми свойствами безусловной вероятности.

Пример 3. В ящике лежит 11 деталей, 3 из них нестандарт­ные. Из ящика дважды берут по одной детали, не возвращая их обратно. Найти вероятность того, что во второй раз из ящика будет извлечена стандартная деталь – событие , если в пер­вый раз была извлечена нестандартная деталь – событие .

Решение.

После первого извлечения в ящике из 10 дета­лей осталось 8 стандартных, и, следовательно, искомая веро­ятность

Теоремы умножения вероятностей

Теорема 1. Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность второго при условии, что первое уже произошло:

. (2.3)

Теорема 2. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

. (2.4)

Пример 4. Среди 50 электрических лампочек 3 – нестандартные. Найти вероятность того, что 2 взятые одновременно электролампочки окажутся нестандартными.

Решение.

Вероятность события (первая лампочка окажется нестандартной) равна . Вероятность того, что вторая лампочка будет нестандартной (событие ) при условии, что первая лампочка оказалась нестандартной, равна , потому что общее число лампочек и число нестандартных среди них уменьшились на единицу.

По теореме умножения вероятностей для двух зависимых событий (26.1) имеем:

.

2.3. Независимость событий

Можно уточнить понятие независимости событий. События и независимы, если условная вероятность события при условии совпадет с безусловной вероятностью события , то есть . Несколько событий называются независимыми в совокупности, если вероятность каждого из них не изменяется в связи с наступлением или ненаступлением любого другого события или их комбинации.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из не­зависимых в совокупности событий , , ... , определяется формулой

(2.5)

где – вероятности соответствующих противо­положных событий ( ).

Доказательство.

Пусть в результате испытания могут произойти независимые в совокупности события , , ... , . Рассмотрим событие , которое состоит в том, что произойдет хотя бы одно из этих событий. Тогда – это событие, которое состоит в том, что не появится ни одно из этих событий, то есть

.

События и образуют полную группу событий. Поэтому . Следовательно, вероятность того, что произойдет хотя бы одно из этих событий, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий:

.

Следствие. Если все события имеют одинаковую вероятность , то .

Отсюда имеем:

.

Пример 5. Три студента сдают экзамен. Вероятность того, что первый студент сдаст экзамен, равна 0,6; для второго – 0,7; для третьего – 0,75.

Найти вероятность того, что хотя бы один студент сдаст экзамен.

Решение.

Пусть , , – события, которые состоят в том, что экзамен будет сдан соответственно первым, вторым, третьим студентами, а событие – в том, что экзамен сдаст хотя бы один студент.

По условию задачи известно, что ; и . Тогда , , .

Следовательно, вероятность того, что экзамен сдаст хотя бы один студент, равна:

.

Определим необходимое количество испытаний.

Пусть произведено испытаний. Вероятность желаемого результата (успеха) для каждого из них равна .

Нужно определить количество испытаний, которое необходимо для получения желаемого результата, с надежностью не менее чем .

Обозначим события следующим образом:

пусть – это событие, которое заключается в том, что желаемый результат достигнут, то есть успешным было хотя бы одно испытание;

тогда – событие, которое заключается в том, что все испытания проведены без достижения желаемого результата.

По условию , т. е. , где .

Тогда

.

Прологарифмируем полученное неравенство:

.

Так как , то

. (2.6)

Например, при и .