1.5. Геометрическое и статистическое определения вероятности

Статистическое определение вероятности

Относительной частотой события называют отношение числа его появлений в испытаниях к числу всех испытаний, то есть:

.

Если достаточно большое, то относительная частота колеблется вокруг некоторой постоянной величины , которую называют вероятностью события .

Пример 5. В магазин поступили 100 телевизоров, среди них с неявным дефектом. Какова вероятность приобрести телевизор с неявным дефектом?

Решение.

,

где – событие, которое заключается в том, что телевизор имеет неявный дефект.

Классическое и статистическое определения вероятности имеют принципиальную разницу. Вероятность, согласно классическому определению, вычисляют до испытания (эксперимента), а относительную частоту, согласно статистическому определению, – после испытания.

Геометрическое определение вероятности.

Пусть отрезок составляет часть отрезка . На отрезке случайным образом отмечена точка (то есть точка может быть в любом месте отрезка ). Тогда вероятность того, что точка попадет на отрезок , пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его размещения на . В данных предположениях вероятность того, что точка попадет на , определяется равенством:

.

Рассмотренный вопрос может быть обобщен и для плоских (пространственных) фигур. Если обозначить через часть плоской (пространственной) фигуры , то вероятность попадания точки в , пропорциональна ее площади (объему) и не зависит ни от ее размещения в , ни от формы , то есть:

( ).

Таким образом, вероятность события равна отношению меры множества, элементарные события которого способствуют событию , к мере множества всех элементарных событий испытания.

Лекция 2. Основные теоремы теории вероятностей

2.1. Теоремы сложения вероятностей для несовместных и совместных событий

Теорема 1. Вероятность появления суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

. (2.1)

Следствие. Вероятность появления суммы нескольких попарно несовместных событий равна сумме их вероятностей:

Теорема 2. Вероятность появления суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их совместного появления:

. (2.2)

Пример 1. Пусть вероятность того, что стрелок при попадании в мишень выбьет 10 очков, равна 0,4; 9 очков – 0,2; 8 очков – 0,2; 7 очков – 0,1; 6 очков и меньше – 0,1. Найти вероятность того, что стрелок при одном выстреле выбьет не менее 9 очков.

Решение.

Искомое событие (обозначим его ) состоится, если стрелок выбьет или 9 (событие ), или 10 очков (событие ). События и несовместные. Поэтому .

Пример 2. Вероятность сдачи экзамена первым студентом равна 0,7, вторым – 0,6. Какова вероятность того, что кто-нибудь из них сдаст экзамен?

Решение.

Пусть событие – экзамен сдаст первый студент, событие – экзамен сдаст второй студент. События и совместные. Поэтому .