1.3. Вероятности на дискретном пространстве элементарных событий

Пусть пространство элементарных событий конечно. И пусть каждому событию , принадлежащему алгебре событий , соответствует число .

Числовая функция называется вероятностью, если она удовлетворяет следующим аксиомам:

1) (аксиома неотрицательности);

2) , где – достоверное событие (аксиома нормированности);

3) (аксиома аддитивности), если события и принадлежат , то событие также принадлежит

Таким образом, вероятностью события называется численная мера степени объективной возможности этого события.

Из аксиом вероятности выводится ряд свойств вероятности:

1) вероятность невозможного события равна нулю: .

2) вероятность события принадлежит интервалу , то есть .

Доказательство.

Любое событие можно представить в виде произведения этого события и достоверного события, то есть .

Поскольку , то , то есть . Из аксиомы неотрицательности вероятности события вытекает, что .

Таким образом, .

Событие называется маловероятным, если в данной системе испытаний вероятность его появления пренебрежительно мала. Уровень вероятности, которым можно пренебречь, называется уровнем значимости ( ). Как правило, на практике выбирают уровень значимости, который равен или . Но возможны и другие уровни значимости.

Известно, что события , , ... , образуют полную группу несовместных событий, если в некотором испытании обязательно происходит одно из них и никакое другое событие произойти не может. То есть сумма событий, которые образуют полную группу, является достоверным событием, поэтому сумма их вероятностей равна единице:

. (1.1)

Два противоположных события и образуют полную группу событий, то есть – достоверное событие.

Поэтому:

, .

Если обозначить и , то .

В классической схеме вероятность события определяется как отношение числа исходов , которые благоприятствуют ему, к общему числу равновозможных, единственно возможных и несовместных исходов испытания, то есть:

. (1.2)

Пример 1. В отдел технического контроля поступили 15 изделий первого сорта и 5 изделий – второго. Какова вероятность выбрать изделие первого сорта?

Решение.

По условию задачи , . Вероятность события (выбора изделия первого сорта) равна: .

1.4. Основные понятия комбинаторного анализа

Комбинаторика изучает количество комбинаций, которые подчинены определенным условиям, и которые можно составить из элементов. Рассмотрим основные формулы комбинаторики, которые используются в теории вероятностей.

Перестановки – это комбинации, которые состоят из одних и тех же разных элементов и отличаются только порядком их размещения:

(1.3)

где .

Пример 2. Заданы цифры 1, 2, 3, 4, 5. Сколько пятизначных чисел можно составить из этих цифр, если каждое из них входит в число только один раз?

Решение.

Число пятизначных чисел равно: .

Размещениями называют комбинации, которые составлены из разных элементов по элементов, которые отличаются или составом элементов, или их порядком:

. (1.4)

Пример 3. Сколько можно составить сигналов из 6 флажков разного цвета, если взять их по 2?

Решение.

Число сигналов равно: .

Сочетания это комбинации, которые составлены из разных элементов по элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом:

. (1.5)

Пример 4. Сколькими способами можно выбрать 3 детали из ящика, в котором 15 деталей?

Решение.

По условию задачи .

Число способов равно:

или

.

Подчеркнем, что числа перемещений, размещений и соединений связаны равенством:

.

При решении задач в комбинаторике используют такие правила:

1) правило сумм: если объект может быть выбран из совокупности объектов способами, а второй объект – способами, то выбрать или , или можно способами;

2) правило произведения: если объект можно выбрать из совокупности объектов способами и после каждого такого выбора объект можно выбрать способами, то пара объектов ( , ) в таком порядке может быть выбрана способами.