Правило трех сигм
Преобразуем формулу (6.20).
Пусть
,
тогда
.
Если
,
то
,
тогда:
.
Это
значит, что 68 % значений случайной
величины находятся на промежутке
.
Если
,
то
,
тогда:
.
Это
значит, что 95 % значений случайной
величины находятся на промежутке
.
И
последнее:
,
имеем:
.
Отсюда
правило
трех сигм:
нормально распределенная
случайная величина
принимает все свои значения на промежутке
с достоверностью приблизительно равной
.
То
есть, из
значений нормально распределенной
случайной величины лишь
выйдут за пределы интервала
.
Пример
7. На
станке изготавливают шары, диаметр
которых является случайной величиной
,
распределенной по нормальному закону,
имеющей среднее значение
мм и
мм. Какие размеры диаметра шаров можно
гарантировать с надежностью
?
Решение.
По
условию задачи
,
.
То
есть,
,
,
.
При изучении распределений, которые отличаются от нормального, возникает необходимость оценить это отличие. С этой целью вводят такие характеристики, как асимметрия и эксцесс. Для нормального распределения асимметрия и эксцесс равны нулю. Большие значения асимметрии и эксцесса указывают на значительное отклонение от нормального распределения, при малых значениях асимметрии и эксцесса можно допустить близость этого распределения к нормальному.
Асимметрией распределения называют величину:
, (6.21)
где
– центральный
момент третьего порядка;
– среднее квадратическое отклонение.
Асимметрия
характеризует отклонение кривой
распределения
от центра симметрии
нормального распределения
,
то есть моды. Если
,
то максимум функции
отходит влево; если
– вправо,
при этом значение максимума сохраняется
(рис. 4).
Рис. 4. Асимметрия распределения |
Эксцессом распределения называют величину:
, (6.22)
где
– центральный
момент четвертого порядка.
Эксцесс распределения характеризует смещение максимума кривой распределения вдоль оси симметрии (рис. 5).
|
|
Рис. 5. Эксцесс распределения |
|
Пример
8.
Дано
,
,
.
Найти
.
Решение.
Асимметрия:
.
Эксцесс: 
.
Можно
сказать, что кривая распределения будет
отходить влево (
)
относительно
и максимум будет меньше, чем у кривой
нормального распределения (
).
Нормально распределенные случайные величины широко распространены на практике.
Если 
,
где
– независимые
случайные величины,
,
,
,
то
, то есть
. (6.23)
Содержание
формулы (6.23) таково: с
вероятностью
можно утверждать, что доверительный
интервал
покрывает неизвестный параметр
с надежностью
и точностью оценки
.
Оценку
называют классической.
Из формулы , которая определяет точность классической оценки, можно сделать выводы:
1) с ростом число убывает, то есть точность оценки увеличивается;
2) увеличение вероятности приводит к росту параметра ( – возрастающая функция) и тем самым к росту .
То есть, увеличение вероятности классической оценки влечет за собой уменьшение ее точности.