6.2. Показательный закон распределения

Непрерывная случайная величина распределена по показательному закону, если плотность распределения:

с параметром . (6.8)

Проверим, что функция, которая задана в таком виде, удовлетворяет свойствам дифференциальной функции распределения.

Действительно и

.

Интегральная функция показательного распределения имеет вид: .

Окончательно:

(6.9)

Графики функций и приведены на рис. 2.

Рис. 2. Графики дифференциальной и интегральной функций показательного распределения

Вероятность попадания случайной величины в интервал определяется формулой:

. (6.10)

Вычислим числовые характеристики показательного закона распределения.

Математическое ожидание :

.

(6.11)

Дисперсия :

.

(6.12)

Среднее квадратическое отклонение :

. (6.13)

Отметим, что при показательном распределении математическое ожидание равно среднему квадратическому отклонению: .

Пример 2. Среднее время обслуживания покупателя составляет минут и распределено по показательному закону. Какова вероятность простоять в очереди от до минут?

Решение.

, .

.

Функцией, которая определяет вероятность безотказной работы элемента за промежуток времени длиной , является функция надежности : . События и противоположные. Функция распределения определяет вероятность отказа элемента за время длиной .

Таким образом, для показательного распределения:

, (6.14)

где – интенсивность отказов.

Пример 3. Случайная величина – время работы лампы накаливания имеет показательное распределение. Определить вероятность того, что время работы лампы будет составлять не меньше часов, если среднее время работы лампы часов.

Решение.

, тогда , .

.

6.3. Нормальный закон распределения вероятностей и его стандартное представление

Случайная величина распределена по нормальному закону, если ее плотность распределения при определяется формулой:

, (6.15)

где – параметры распределения.

Определим интегральную функцию распределения для нормального закона: .

Сделаем замену ; .

Новые пределы интегрирования: ;

.

.

Здесь – интеграл Пуассона,

, поскольку .

Таким образом:

. (6.16)

Если ввести центрированную и нормированную величину , такую, что , , то

, , (6.17)

где , – дифференциальная и интегральная функции Лапласа:

, .

Графики дифференциальной и интегральной функций нормального распределения приведены на рис. 3.

Рис. 3. Графики дифференциальной и интегральной функций нормального распределения

Докажем, что параметр – математическое ожидание , а параметр – среднее квадратическое отклонение .

По формуле для непрерывной случайной величины:

,

для нормального распределения имеем:

.

Сделаем замену ; ; . Новые пределы интегрирования при этом равны исходным:

.

Первый интеграл равен нулю, как интеграл от нечетной функции по промежутку, симметричному относительно начала координат.

Второй интеграл является интегралом Пуассона: .

Таким образом .

Дисперсия непрерывной случайной величины :

.

Тогда для нормального распределения:

.

Сделаем ту же замену, как и для , т. е. , тогда:

.

То есть, получим:

, . (6.18)

Для нормального распределения кривая распределения – функция – достигает максимума при и симметрична относительно линии .

Найдем вероятность попадания случайной величины , распределенной по нормальному закону с параметрами и в промежуток :

.

Таким образом:

. (6.19)

Пример 4. Случайная величина распределена по нормальному закону и имеет плотность распределения:

.

Найти числовые характеристики величины и вероятность попадания ее в интервал .

Решение.

По определению функции имеем: .

Таким образом .

Тогда, вероятность попадания случайной величины в интервал по формуле (6.19) равна:

.

Пример 5. Автоматический станок штампует детали. Длина детали является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с параметрами  см, . Найти вероятность брака, если допустимые размеры детали должны быть см.

Решение.

;

; ; ; .

.

Таким образом, вероятность брака равна:

.

Найдем вероятность отклонения нормально распределенной случайной величины от ее математического ожидания по модулю на величину, не превышающую ( ), то есть, найдем :

.

Таким образом, . (6.20)

Пример 6. Деталь, изготовленная на станке, считается стандартной, если отклонение ее размера от проектного не больше . Случайные отклонения распределены по нормальному закону: , . Найти, какой процент стандартных деталей изготовляется на станке.

Решение.

По условию , . Имеем:

.

Следовательно, на станке изготавливается приблизительно стандартных деталей.