5.4. Числовые характеристики непрерывной случайной величины

Пусть – непрерывная случайная величина, которая может принимать всевозможные значения на отрезке и имеет плотность распределения . Разобьем промежуток на частей точками .

Получим отрезки , , … , . Выберем на каждом из них произвольную точку . Согласно вероятностному смыслу плотности распределения равна вероятности попадания случайной величины на интервал .

Используя формулу для математического ожидания дискретной случайной величины получим: .

Если и , то дискретная величина будет все меньше отличаться от непрерывной величины

Функция – непрерывна, тогда имеем:

.

Следовательно, математическое ожидание непрерывной случайной величины возможные значения которой принадлежат отрезку , вычисляется как определенный интеграл:

. (5.7)

Аналогично, если , то .

Дисперсия непрерывной случайной величины вычисляется как математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от своего математического ожидания.

Если , то:

, (5.8)

или . (5.9)

Если , то: , (5.10)

или . (5.11)

Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины :

. (5.12)

Свойства математического ожидания и дисперсии дискретных величин сохраняются и для непрерывных величин.

Модой непрерывной случайной величины называют такое значение случайной величины, для которого дифференциальная функция максимальна.

Медианой называют такое значение случайной величины, для которого выполняется равенство .

Геометрически медиану можно определить как точку, в которой ордината функции разделяет пополам площадь, под кривой распределения (дифференциальной).

Моменты непрерывной случайной величины:

а) начальный момент -го порядка:

; (5.13)

б) центральный момент -го порядка:

. (5.14)

Пример 5. Задана дифференциальная функция распределения непрерывной случайной величины :

Найти интегральную функцию распределения . Изобразить графики функций и . Найти .

Решение.

Функцию распределения найдем по формуле (5.4):

.

Если , то , откуда ;

если , то:

;

если , то:

.

Окончательно имеем:

Построим графики функций и (рис. 4):

Рис. 4. Графики плотности распределения и функции распределения

Найдем числовые характеристики:

;

; .

Лекция 6. Законы распределения непрерывных

случайных величин

6.1. Равномерный закон распределения вероятностей

и его числовые характеристики

Равномерным распределением непрерывной случайной величины называют такое распределение, при котором дифференциальная функция является постоянной величиной на интервале , а вне этого интервала равна нулю:

(6.1)

Определим параметр .

Исходя из свойства функции имеем:

, , .

Итак, для равномерного распределения дифференциальная функция имеет вид:

(6.2)

Найдем интегральную функцию распределения для : .

Таким образом, функцию распределения запишем в виде:

(6.3)

Графики дифференциальной функции и интегральной функции равномерного распределения приведены на рис. 1.

Рис. 1. Графики дифференциальной и интегральной функций равномерного распределения

Определим вероятность попадания случайной величины в интервал :

. (6.4)

Вычислим числовые характеристики случайной величины, распределенной по равномерному закону.

Математическое ожидание определим по формуле:

. (6.5)

Дисперсия :

. (6.6)

Среднее квадратическое отклонение вычислим по формуле:

. (6.7)

Пример 1. Автобус прибывает на остановку с интервалом 5 минут. Найти вероятность того, что автобус появится в последние две минуты. Найти , , .

Решение.

По условию задачи , , .

;

; ; .

Равномерный закон распределения применяется при работе с округленными числами. Например, если число округлено до целого, то ошибка округления распределена равномерно на отрезке .