Моделирование процессов токопрохождения через диэлектрические жидкости.

1. Система уравнений.

Система уравнений, описывающая процессы токопрохождения в жидких диэлектриках (в случае изотермических жидкостей и без учёта конвективного механизма электропроводности), записывается в следующем виде:

(1)

(2)

(3)

, (4)

(5)

(6)

где  — напряжённость электрического поля,  — объёмная плотность заряда,  — электрический потенциал,  — концентрация ионов, — плотность тока,  — функция источника,  — ско­рость жидкости,  — давле­ние;  — относительная диэлектрическая проницае­мость жидкости,  — подвижность ионов,  — коэффициент диффузии ионов,  — валентность ионов,  — массовая плотность жидкости,  — динамическая вязкость жидкости;  — диэлектрическая постоянная,  — элемен­тарный электрический заряд,  — время; индекс  указывает на сорт ионов.

Коэффициент диффузии ионов связан со значением подвижности соотношением Эйнштейна:

 

где  — постоянная Больцмана,  — температура,  — элементарный электрический заряд.

2. Механизмы зарядообразования.

В жидких диэлектриках есть два основных механизма зарядообразования — инжекционный и диссоциационный. В первом случае заряд образуется в результате приэлектродных реакций на границе раздела металл–жидкость, а во втором — в объёме из-за диссоциации примесных молекул.

В случае инжекционной модели зарядообразования функция источника в уравнении (3) задаётся равной нулю при униполярной инжекции, и равняется рекомбинационному слагаемому (которое будет описано ниже) при биполярной инжекции. На каждом из электродов при этом задаётся функциональная зависимость плотности тока инжекции от локальной напряжённости электрического поля, а также условие гибели заряда на электроде противоположной полярности:

(8)

, (9)

где  — плотность тока ионов через границу в направлении внешней нормали. Функция , описывающая гибель заряда, обычно задаётся пропорциональной концентрации ионов в приэлектродной области. Один из вариантов условия гибели — плотность тока гибели равна плотности полного тока ионов, приходящих на границу из объёма:

, (10)

где учтено, что конвективный ток на границе раздела равен нулю. Условие (10) обозначает, что нейтрализация ионов происходит мгновенно, как только они касаются металла, т.е. электрод для ионного потока является «прозрачным».

В случае диссоциационной модели зарядообразования в правой части уравнения Нернста–Планка (3) появляется объёмный источник рождения ионов (диссоциация), а также добавляется член, описывающий их гибель (рекомбинацию) в объёме:

(11)

где — интенсивность диссоциации,  — коэффициент рекомбинации. Интенсивность диссоциации пропорциональна концентрация молекул примесей , и может быть представлена в следующем виде:

, (12)

где — коэффициент диссоциации. При выбранной форме записи уравнения (11) (и поскольку уравнения Нернста–Планка записаны для концентраций, которые по определению неотрицательны) коэффициенты и являются неотрицательными. Далее для простоты будем считать, что в жидкости есть только два сорта ионов, и их валентность одинакова. Тогда функция источника будет одинаковой для обоих сортов ионов. В диссоциационной модели также как и в инжекционной гибель заряда (помимо нейтрализации ионов за счёт рекомбинации) задаётся на поверхности электродов в виде условия, аналогичного условию (10).

В диссоциационной модели образование ионов происходит даже в отсутствии внешнего электрического поля, и соответствующая равновесная концентрация образующихся ионов определяется условием равенства скоростей реакций диссоциации и рекомбинации:

, (13)

где , и — коэффициент диссоциации, концентрация молекул примесей и концентрация ионов в отсутствии внешнего электрического поля.

Равновесная концентрация ионов обуславливает низковольтную проводимость жидкости и может быть выражена через неё:

. (14)

Что касается коэффициента рекомбинации, то он считается независящим от напряжённости электрического поля, и для его определения обычно используется соотношение Ланжевена:

, (15)

где  — относительная диэлектрическая проницаемость и  — диэлектрическая постоянная.

В результате, исходя из уравнений (13)–(15), можно записать выражение для коэффициента диссоциации в отсутствии электрического поля:

. (16)

В случае малой степени диссоциации (что справедливо для слабопроводящих жидкостей) можно считать, что , и тогда функция источника (уравнение (11)) представляется в виде:

. (17)