Среднее гармоническое.
Может быть простой и взвешенной и рассчитывается по формуле 4.4. Среднее гармоническое взвешенное применяется вместо средней арифметической взвешенной когда нет данных о частотах отдельных вариант совокупности но есть данные о величине произведения (4.5). Средняя гармоническая является преобразованной формой средней арифметической и тождественно ей.
Пример. Имеются данные по работе трех обменных пунктов валюты (таблица 4.4). 1 вариант – по каждому обменному пункту известен курс доллара и объем продаж доллара, 2 вариант – по каждому обменному пункту известен курс доллара и выручка от продажи валюты. Если воспользоваться данными 1 варианта то среднее арифметическое взвешенное курса доллара будет выглядеть следующим образом (под формулой записано). При использовании данных 2 варианта для нахождения общего объема продаж сначала необходимо рассчитать его по пункту каждому обменному.
Среднее геометрическое и среднее квадратическое.
Средняя геометрическая простая определяется по формуле 4.6. Среднее геометрическое взвешенное определяется по формуле 4.7. В экономической статистике среднее геометрическое применяется при определении средних коэффициентов и темпов роста в рядах динамики. Средняя квадратическая простая определяется по формуле 4.8, Среднее квадратическое взвешенное – 4.9. Среднее квадратическое используется при оценке уровней вариации анализируемых показателей.
Структурное среднее. Для расчета степенных средних необходимо располагать информацией не только о значениях признака но и о величине его веса. Такая информация не всегда доступна. В этом случае предпочтение отдается структурным средним. Структурное среднее характеризуют структуру рядов распределения. К таким показателям относятся мода и медиана. Модой называется варианта, которая наиболее часто встречается в анализируемой совокупности, наличием двух и более модальных значений означает неоднородность статистической совокупности. В дискретном ряду распределения мода – это варианта с максимальное частотой. Например, в таблице 4.5 наибольшей частотой является 88, этой частоте соответствует модальное значение признака 37, т.е. наибольшим способом у покупателей пользуется обувь 37 размера. В интервальном ряду распределения с разными интервалами мода исчисляется по формуле 4.10. определим моду интервального ряда по данным таблицы 4.6. максимальная частота 7, модальным является интервал 8.2, в соответствии с формулой 4.10. медианой называется значение варьирующего признака, которая делит ранжированный ряд данных на две равные части. Одна половина единиц анализируемой совокупности будет иметь значение меньше медианы, другая – больше. При определении медианы по несгруппированным данным сначала их необходимо ранжировать, затем определить номер единиц совокупность, значение признака которой будет медианой. При небольшом объеме совокупности этот номер определяется визуально, а при большом по формуле 4.11.
Например, данные о стаже работы 7 продавцом представлены в виде ранжированного ряда. В этом случае номер медианы по формуле 4.11 будет равен 3. Если число вариант будет четным, то медиана равна средней арифметической от двух цифр в середине ряда.
В дискретном ряду распределения (таблица 4.5) ne= 37. Медиана по данным интервального ряда распределения с равными интервалами определяется следующим образом:
Для каждого интервала рассчитывается накопленная частота (графа 3 таблица 4.6)
Определяется медианный интервал. Таким интервалом является тот, накопленная частота которого больше или равна 1\2 численности единиц совокупности (в таблице 4.6 это будет 8.9). Накопленная частота этого интервала 14, что больше чем 12.5 (половина от объема совокупности)
Медиана определяется по формуле 4.12. Расчет моды и медианы для вариационных рядов с неравными интервалами определяется аналогично, но показатели частоты заменяются на показатели плотности распределения, что обеспечивает сопоставимость неравных интервалов.
Средняя арифметическая мода и медиана являются показателями центра статистического распределения. В каждой конкретной задаче предпочтение может быть отдано любому из этих показателей. В симметричных рядах распределения величины всех трех показателей совпадают и предпочтение отдается средней арифметической. Симметричным является распределение, в котором частоты любых двух вариант равноотстоящих от центра распределения равны между собой. Для ассиметричных рядом предпочтительной характеристикой центра распределения является медиана поскольку она занимает промежуточное положение между модой с средним арифметическом. В статистическом контроле качества продукции чаще пользуются медианой поскольку для определения ее в ранжированном ряду не требуется дополнительных расчетов и кроме того она не чувствительна к крайним значениям контрольной пробы. Мода применяется при изучении спроса населения на потребительские товары с целью выявления продукции, пользующейся наибольшим спросом.