Примеры решения задач

З а д а ч а 1. Найти возможные значения полного момента количества движения атома, если спин ядра равен 5/2, а момент количества движения электронной оболочки равен 3/2.

Р е ш е н и е.

Будем использовать следующую систему обозначений: Символ означает векторную размерную величину – спин (момент количества движения), а символ J – соответствующее квантовое число – безразмерная величина, которая может принимать целые и «полуцелые» значения. Эти величины связаны соотношением . Для краткости термин «спин» будем использовать не только для обозначения внутреннего момента количества движения частицы, но и для полного момента любой квантовомеханической системы.

Спин атома равен векторной сумме спина ядра и спина электронной оболочки : . По законам квантовой механики величина как и «квантуется» – т. е. может принимать только определенные значения из дискретного набора. Эти значения должны удовлетворять следующим соотношениям между квантовыми числами:

.

По условиям задачи , . Таким образом, возможные значения спина атома (т. е. квантового числа F) следующие: F = 1; 2; 3; 4.

З а д а ч а 2. Доказать, что величина сверхтонкого расщепления уровней энергии атома равна , где F, J и I – спин (квантовое число) атома, ядра и электронной оболочки атома.

Р е ш е н и е.

Электронная оболочка создает на ядре магнитное поле , пропорциональное величине спина оболочки : , где a – некоторый коэффициент пропорциональности. Сверхтонкое расщепление определяется энергией взаимодействия магнитного момента ядра с этим магнитным полем , где γ = – коэффициент пропорциональности (это размерная в отличие от g величина, она также называется гиромагнитным отношением). Скалярное произведение найдем, скалярно умножив само на себя равенство : . Получаем , или с использованием квантовых чисел . Таким образом, для E получаем , где .

Количество возможных значений квантового числа F определяет количество уровней сверхтонкого расщепления.

З а д а ч а 3. Терм ²D_3/2 атома ²⁰⁹Bi имеет четыре компоненты сверхтонкого расщепления, причем отношение интервалов между соседними компонентами равно 4 : 5 : 6. Найти спин ядра ²⁰⁹Bi.

Р е ш е н и е.

Терм ²D_3/2 означает, что атомная оболочка характеризуется полным моментом I = 3/2 (индекс внизу справа), орбитальным моментом L = 2 (буква D), мультиплетность 2 (индекс вверху слева) показывает, что спиновый момент оболочки S = 1/2.

Четыре компоненты сверхтонокого расщепления означают, что имеется четыре различных значения квантового числа F (см. задачи 1 и 2). При I = 3/2 этого недостаточно, чтобы однозначно найти спин ядра J: можно лишь утверждать, что J ≥ 3/2. Для нахождения J надо воспользоваться правилом интервалов: из результата, полученного в задаче 2, следует, что E_F – E_F–1 = Const 2F. Отсюда получаем, что для атома ²⁰⁹Bi долно выполняться соотношение: F_max : F_max – 1 : F_max – 2 = 6 : 5 : 4. Следовательно, F_max = 6. Но F_max = J + I , значит, J = 6 – 3/2 = 9/2.

З а д а ч а 4. Ядро ⁷Li имеет в основном состоянии четыре нуклона, находящихся в состоянии с l = 0, и три нуклона в состоянии с l = 1. Определить четность ядра ⁷Li в основном состоянии.

Р е ш е н и е.

Четность – мультипликативное квантовое число. Поэтому четность ядра равна произведению четностей состояний отдельных нуклонов: . Здесь – внутренняя четность нуклона, l – его орбитальное квантовое число. Протоны и нейтроны имеют внутреннюю четность = +1, следовательно, , где . Для ядра ⁷Li в основном состоянии L = 0 + 0 + 0 + 0 + 1 + 1 + 1 = 3, значит .

Задача 5. Определить изоспин и его проекцию для ядер ¹³C и ¹³N в основных состояниях.

Решение.

Для ядра ¹³C Z = 6 и N = 7, значит, T_z = (6 – 7)/2 = –1/2, T = ‌‌–1/2‌ = 1/2. Для ядра ¹³N Z = 7 и N = 6, значит, T_z = (7 – 6)/2 = 1/2, T = ‌‌1/2‌ = 1/2. Эти зеркальные ядра, как и все зеркальные ядра, имеют в основном состоянии одинаковый изоспин, различаясь его проекциями.

З а д а ч а 6. Определить с помощью модели ядерных оболочек спин и четность ядра ⁴⁵Sc.

Р е ш е н и е.

Ядро ⁴⁵Sc имеет Z = 21 протон и N = 24 нейтрона. Количество протонов на 1 превышает магиеское число 20. Количество нейтронов – четное, значит спин и четность этого ядра определяются состоянием 1f_7/2 «лишнего» протона. Таким образом, в основном состоянии это ядро должно характеризоваться спином и четностью 7/2 ^–, что совпадает со справочним значением.

Задачи

3.1. Определить возможные значения спина ядра, состоящего из двух протонов и двух нейтронов с орбитальными моментами, равными нулю. Считать все нуклоны находящимися в одном (низшем из возможных) энергетических состояний.

3.2. Оценить плотность и число нуклонов в единице объема ядерного вещества, полагая радиус ядра равным R = 1,2 ·A^1/3 Фм. Найти среднее расстояние между нуклонами в ядре и долю объема ядра, занятого нуклонами.

3.3. Доказать, что орбитальный момент дейтрона может принимать только два значения: 0 и 2.

3.4. Используя данные о распространенности изотопов, определите, сколько существует стабильных дважды магических ядер. Почему сущеествуют не все возможные дважды магические ядра?

3.5. Цирконий имеет устойчивые изотопы ⁹⁰Zr, ⁹¹ Zr, ⁹² Zr, ⁹⁴ Zr, ⁹⁶ Zr. Какое наивысшее состояние оболочечной модели заполнено протонами? Какие состояния заполнены нейтронами в различных изотопах? Почему, на ваш взгляд, у циркония так много устойчивых изотопов?

3. 6. Изобразить схему заполнения оболочек в ядрах ¹¹B, ¹⁷O.

3.7.В каком ядре протоны заполняют все состояния оболочечной модели до 2р_3/2 включительно, а нейтроны – до 2р_1/2?

3.8. Определить спин ядра ¹¹¹Cd, если в переходе уровень не обнаруживает сверхтонкого расщепления, а уровень расщепляется на два подуровня. Нарисовать схему уровней сверхтонкого расщепления.

3.9. Каждый из двух подуровней терма в сильном магнитном поле порядка 1000 э расщепляется на четыре компоненты для ²³Na и на восемь компонент для ¹³³Cs. Определить спины этих ядер.

3.10. Ядерные силы характеризуются радиусом действия r₀ = 2 Фм и потенциалом наулон-нуклонного взаимодействия U = 40 МэВ. Найти характерные значения потенциалов кулоновского взаимодействия двух протонов и магнитного взаимодействия двух магнитных моментов двух нуклонов на настоянии r_0. Сравнить эти величины с U.

3.11. Каково значение изотопического спина системы Т, состоящей из протона и нейтрона в состоянии с определенным значением спина S и углового момента относительного движения L = 0, 1, 2, 3, 4.

3.12. Определить изоспин основного состояния и проекцию изоспина для ядра ⁴⁸Ca.

3.13. Определить изоспины основных состояний ядер изотопов углерода: ¹⁰C, ¹¹C, ¹²C, ¹³C, ¹⁴C.

3.14. Получить выражения для магнитных моментов ядер, если считать, что магнитный момент ядра определяется магнитным моментом нечетного протона или нейтрона (кривые Шмидта).

3.15. В модели оболочек определить спин, магнитный момент и гиромагнитное отношение для ядра, содержащего сверх заполненных оболочек один нуклон (протон или нейтрон) или имеющего одну дырку в заполненной оболочке. Применить полученный результат к основным состояниям ядер: ³H, ³He, ¹¹B, ¹³C, ¹⁵N, ¹⁷O, ²⁹Si. .

3.16. Известно, что внутренний квадрупольный момент Q₀ ядра ¹⁷⁵Lu равен + 5,9 Фм². Какую форму имеет это ядро? Чему равен параметр деформации этого ядра?

3.17. Показать, что если ядро имеет форму эллипсоида вращения с полуосями b (по оси z) и а (по осям x и y), то оно обладает собственным квадрупольным электрическим моментом: