Семинар 2 эффективное сечение и амплитуда рассеяния

Методы теории рассеяния широко используются для исследования структуры материи в физике элементарных частиц, ядерной физике, физике твердого тела и ряде разделов оптики и акустики. При всем их разнообразии во всех этих методах на изучаемый объект направляют какие-нибудь частицы (волны) и исследуют их распределение после рассеяния.

Пусть , называемое потоком, – число частиц, проходящих за секунду через единичную площадку в направлении оси (оси z на рис. 2.1), а – число частиц, проходящих после рассеяния на угол (см. рис. 1) за секунду через перпендикулярное направлению импульса этих частиц входное окно детектора площадью , отстоящее от точки рассеяния на расстояние . Поскольку число рассеянных частиц пропорционально потоку , площади поперечного сечения пучка , толщине мишени , концентрации рассеивателей и телесному углу , перекрываемому детектором, можно ввести функцию угла рассеяния (см. рис. 2.1):

. (2.1)

Величина имеет размерность и называется дифференциальным по телесному углу сечением (упругого) рассеяния. Она не зависит от таких условий постановки эксперимента, как интенсивность источника частиц, площадь поперечного сечения пучка, толщина мишени, концентрация рассеивателей, площадь и удаленность детектора, и несет информацию о законе взаимодействия частиц с рассеивателем и зависит от относительной скорости и угла рассеяния.

Рис. 2.1. Схема эксперимента по рассеянию частиц

Интеграл от (2.1)

(2.2)

имеет размерность и называется полным сечением рассеяния. Когда движение частиц является классическим, полное сечение представляет собой площадь диска, при прохождении через который происходит взаимодействия частицы с рассеивателем. При рассеянии электронов на ядрах сечение достигает площади поперечника атома , а при рассеянии достаточно быстрых нуклонов на ядрах – поперечника ярда .

В реальном эксперименте макроскопическая мишень состоит из большого числа рассеивателей (атомов, ядер), характеризуемых концентрацией . Изменение потока частиц при прохождении через находящийся на глубине слой толщины составляет

. (2.3)

Поскольку при площади поперечника пучка поток частиц в нем составляет , интегрирование уравнения (2.3) позволяет получить для числа частиц, достигших глубины :

, (2.4)

где – число частиц, падающих на поверхность. Заметим, что в случае малых толщин мишени выражение (2.4) позволяет получить для вероятности реакции выражение

.

В классической механике угол отклонения частицы при рассеянии полностью определяется прицельным параметром – расстоянием между прямой, по которой движется частица далеко от рассеивателя до параллельной прямой, проходящей через рассеиватель. Зависимость и обратная ей зависимость определяются законом взаимодействия частицы и рассеивателя и позволяет рассчитать дифференциальное сечение:

. (2.5)

Например, в случае резерфордовского (кулоновского) рассеяния частицы со скоростью зарядом на ядре с зарядом нетрудно получить соотношение

, (2.6)

подстановка которого приводит к сечению Резерфорда:

. (2.7)

Однако в большинстве случаев для описания процесса рассеяния необходимо использовать законы волновой и, в частности, квантовой механики. Рассмотрим, как закон взаимодействия частиц с рассеивателем определяет амплитуду и сечение рассеяния.

Согласно квантовой механике, плотность потока частиц

(2.8)

массы выражается через их волновую функцию . Радиальная компонента плотности потока (2.8) позволяет рассчитать входящее в определение (2.1) число частиц , проходящих через входное окно детектора. Для расчета потока частиц необходимо воспользоваться волновой функцией невзаимодействующей падающей частицы, которая имеет вид плоской волны:

,

где (2π)^3/2 – нормировочный множитель, выбранный в соответствии с условием нормировки:

.

Подставляя плоскую волну в (2.8), получаем

.

Чтобы найти плотность потока рассеянных частиц, необходимо найти волновую функцию рассеянных частиц, которая является решением стационарного уравнения Шредингера с потенциалом V(r):

, ( 2.9)

где ; ; – потенциальная энергия взаимодействия частицы с рассеивателем, часто называемая просто потенциалом, индекс у оператора Лапласа  опущен, поскольку в уравнении, (2.9), кроме , нет других переменных.

Решение неоднородного уравнения (2.9) запишем с помощью функции Грина в интегральном виде:

, (2.10)

где – решение однородного уравнения, которое получается из уравнения (2.9) при нулевой правой части:

. (2.11)

Одночастичная функция Грина удовлетворяет уравнению типа

. (2.12)

Известно, что одночастичная функция Грина в координатном представлении записывается в следующем виде:

(2.13)

Подставляя в выражение (2.10) явный вид функции Грина, можно представить решение уравнения (2.9) в виде

. (2.14)

При достаточно больших r, когда расстояние от детектора до мишени больше размеров рассеивателя, можно сделать следующие приближения:

,

. (2.15)

Здесь – единичный вектор, направленный параллельно вектору . Подставляя (2.15) в (2.14), получаем при

, (2.16)

где и .

Согласно (2.16), волновая функция рассеянной частицы на расстояниях от мишени, много больших размеров рассеивателя, представима в виде суммы

(2.17)

плоской волны и сферической волны, умноженной на некоторую величину

, (2.18)

зависящую от потенциала рассеивающего центра, от угла рассеяния, но не зависящую от радиус вектора r. Эта величина играет ключевую роль в теории рассеяния и называется амплитудой рассеяния.

Согласно (2.17), под углом рассеяния, не равным нулю, волновую функцию рассеянной частицы можно записать в виде . Подставляя полученную волновую функцию в формулу для плотности потока (2.8), для его радиальной компоненты можно получить

(2.19)

Подстановка квантовомеханических плотностей тока падающих и рассеянных частиц в выражение для дифференциального сечения (2.1) приводит к соотношению

(2.20)

между сечением и амплитудой рассеяния.

Если в выражение для амплитуды рассеяния (2.18) волновую функцию , стоящую под интегралом, представить в виде (2.16), то амплитуда рассеяния в первом борновском приближении теории возмущения записывается следующим образом:

, (2.21)

где – переданный при рассеянии импульс, нетрудно убедиться, что . Согласно [7], рассеивающее поле можно рассматривать как возмущение при выполнении хотя бы одного из двух условий:

или , (2.22)

где а – радиус действия поля; V – характерная потенциальная энергия в области его действия.

При выполнении первого условия рассматриваемое приближение применимо при всех скоростях частиц. Из второго условия следует, что оно применимо для достаточно быстрых частиц.

При рассеянии частиц на покоящейся мишени (в лабораторной системе) необходимо рассматривать движение как частицы, так и рассеивателя. Однако закон взаимодействия частицы с рассеивателем влияет только на их относительное движение и никак не проявляется в движении центра масс, которое поэтому желательно исключить из рассмотрения, для чего следует перейти в систему центра масс (СЦМ). В этой системе частица с эффективной массой ( и – массы частицы и рассеивателя) движется под действием прежнего потенциала , источник которого теперь неподвижен. Именно для описания этой ситуации и предназначены формулы (2.7), (2.17), (2.20) и (2.21).

Кроме того, использование СЦМ упрощает описание процесса рассеяния. Рассмотрим случай рассеяния на покоящемся рассеивателе ( ) и разобьем импульс частицы на часть , соответствующую движению частицы со скоростью центра масс , и импульс частицы в СЦМ . Нетрудно видеть, что соотношение длин введенных векторов определяется отношением масс:

. (2.23)

Удобство описания рассеяния в СЦМ состоит в том, что рассеяние сохраняет величину этой части импульса и приводит к повороту вектора в положение на угол рассеяния в СЦМ. После этого векторы и оказываются равными импульсам рассеянной частицы и испытавшего рассеяние рассеивателя. Описанная картина рассеяния позволяет наглядно убедиться в качественном отличии рассеяния при различных отношениях масс (рис. 2.2).

Рис. 2.2. Рассеяние при различных соотношениях масс частицы

и рассеивателя.

Укажем также, что углы рассеяния и дифференциальные сечения рассеяния в СЦМ и лабораторной системе удовлетворяют соответственно равенствам

, (2.24)

и

. (2.25)