Примеры решения задач

З а д а ч а 1. Вычислить кинетическую энергию протона с импульсом p = 5 МэВ/с.

Р е ш е н и е.

Как было сказано, знание любых двух характеристик частицы из набора {m, M, p, v, E, T} позволяет найти остальные четыре величины. В нашем случае мы знаем массу частицы m = m_p = 938 Мэв/с² (т. к. в условии сказано, что наша частица – протон) и ее импульс p. Искомую величину T получим из формулы, связывающей три характеристики m, p, T (обратим внимание на то, что в каждую из формул входит по три величины из приведенного выше набора).

.

Представим это в виде

.

Из данных в условии числовых значений следует, что pc << mc², т.е. отношение этих величин – малый параметр. Это позволяет воспользоваться приближенной формулой , где x << 1. B нашем случае .

После несложных преобразований получаем хорошо известную в нерелятивистском приближении формулу . Подставляя числовые значения, имеем

≈ 0,013 МэВ = 13 кэВ.

З а д а ч а 2. Электрон на выходе линейного ускорителя имеет скорость, на Δv = 2 см/с меньше скорости света. Определить кинетическую энергию электрона T.

Р е ш е н и е.

Используем соотношение . Подставляя , где , получаем . Учитывая малость параметра δ, пренебрежем величиной δ² по сравнению с δ и получим . Малость δ позволяет также пренебречь вторым членом и записать . Это соответствует ультрарелятивистскому случаю, когда . Подставляя числовые значения с, v и mc² = 0,511 МэВ, имеем:

МэВ ≈ 0,44ּ10⁵ МэВ = 44 ГэВ.

З а д а ч а 3. Протон в ядре локализован с точностью до размеров, равных радиусу ядра R ≈ 5ּ10⁻¹³ см. Чему равна неопределенность в скорости и энергии протона?

Р е ш е н и е.

Неопределенность в импульсе протона составляет или . Откуда получаем = 10 МэВ, что позволяет использовать нерелятивистское приближение для расчета скорости и энергии: или ; или = 0,05 МэВ.

Полученная неопределенность энергии протона значительно меньше типичной энергии связи нуклона в ядре ε ~ 10 Мэв.

З а д а ч а 4. Определить среднее расстояние, которое может пролететь π⁺ мезон с энергией T = 1 ГэВ до своего распада. Масса покоя π⁺ мезона равна 140 Мэв/с², среднее время жизни τ = 2,6ּ10⁻⁸ с.

Р е ш е н и е.

Для покоящегося наблюдателя среднее время жизни такого π⁺ мезона составит . Двигаясь со скоростью βс, π⁺ мезон сможет пройти за время t расстояние . Величину β получим из соотношения : , где . Таким образом, окончательно получаем: . Подставляя числовые значения, имеем: , см ≈ 6,3ּ10⁵ см = 6,3 км.

Отметим, что свет за время τ = 2,6ּ10⁻⁸ с проходит только 780 м.

З а д а ч а 5. Какую часть полной энергии ядра ²³⁸U составляет его энергия связи?

Р е ш е н и е.

Ядро ²³⁸U состоит из 92 протонов и 238 – 92 = 146 нейтронов. Пренебрегая энергией связи электронов в ятомах, энергию связи ядра ²³⁸U можно представить в виде E_св = [92 · Δ_H + 146 · Δ_n – Δ(²³⁸U)]c², а полную энергию ядра E_я = [М_ат(²³⁸U) – 92·m_e] c² = [238 · u + Δ(²³⁸U) – 92·m_e] c².

Используя справочные значения Δ_H = 7,289 МэВ/с², Δ_n = 8,071 МэВ/с², Δ(²³⁸U) = 47,305 МэВ/с² и m_e = 0,511 МэВ/с², получаем:

E_св/E_я = (92·7,289 + 146·8,071–47,305) / (238·931,494 + 47,305– 92·0,511) ≈

≈ (670,6 + 1178,4 – 47,3 ) / ( 221 695,6 + 47,3– 47,0) ≈ 8,1·10^–3 = 0,81 %.

Приведенные промежуточные значения позволяют оценить вклад каждого слагаемого в общую сумму.

З а д а ч а 6. Оценить значение параметра r₀ в формуле для расчета размеров ядер R = r₀ ·A^1/3, используя величину коэффициента a₃ = 0,71 МэВ в формуле Вайцзеккера.

Р е ш е н и е.

Известно, что энергия E_к кулоновского взаимодействия заряда q, равномерно распределенного внутри сферы радиуса R, определяется соотношением . Приравнивая эту энергию к третьему слагаемому в формуле Вайцзеккера, получаем уравнение для нахождения r₀:

. Здесь учтено, что q = Ze,.а R = r₀ ·A^1/3. Решение уравнения – . Подставляя значения e = 4,8 · 10^–10 СГСЭ и a₃ = 0,71 ·1,6·10^–6 эрг, получаем см = 1,22 Фм.

Задачи

1.1. Чему равна скорость частицы v, кинетическая энергия T которой равна ее энергии покоя m₀c²?

1.2. По косвенным оценкам масса нейтрино составляет величину, близкую к 1 эВ. При бета распаде появляются нейтрино с энергией ~ 1 МэВ. Оценить, насколько скорость частицы с такими характеристиками близка к скорости света?

1.3. Чему равна энергия электрона, если длина его волны равна размерам: 1) атома ( ≈ 10^–8 см), 2) атомного ядра ( ≈ 5 · 10^–13 см), 3) нуклона ( ≈ 0,7 · 10^–8 см)?

1.4. Протон и нейтрон имеют одинаковую кинетическую энергию. У какой частицы длина волны больше?

1.5. Рассчитать длины волн λ протона и электрона с кинетической энергией T = 10 МэВ.

1.6. Протон, электрон и фотон имеют одинаковую длину волны λ = 10⁻⁹ см. Определить время, необходимое для пролета 10 м пути и соответствующие энергии частиц с данной длиной волны.

1.7. Длина волны фотона λ = 3 · 10⁻¹¹ см. Вычислите импульс p фотона.

1.8. Определить полную и кинетическую энергии электрона, длина волны которого λ =10⁻² Фм.

1.9. На каком расстоянии интенсивность пучка мюонов с энергией 1 ГэВ, движущихся в вакууме, уменьшается до половины первоначального значения? Число мюонов, не распавшихся к моменту времени t, определяется соотношением , где  – среднее время жизни покоящегося мюона, равное 2,210⁻⁶ с (масса мюона – 105,66 МэВ).

1.10. Ядро ¹⁰B из возбужденного состояния с энергией 0,72 МэВ распадается путем испускания γ-квантов с периодом полураспада T_1/2 = 6,7 10⁻¹⁰ с. Оценить неопределенность в энергии ΔE испущенного γ -кванта.

1.11. Масса нейтрального атома ¹⁶O m_ат(A, Z) = 15,9949 а. е. м. Определите удельную энергию связи ε ядра ¹⁶O.

1.12. Массы нейтральных атомов в а. е. м.: ¹⁶O − 15,9949, ¹⁵O − 15,0030, ¹⁵N – 15,0001. Чему равны энергии отделения нейтрона и протона в ядре ¹⁶O?

1.13. Используя избытки масс (2,1) = 13,14 МэВ/с², (3,1) = 14,95 МэВ/с² вычислить энергию, выделяющуюся в реакции

.

Пренебрегая кинетической энергией ядер до реакции, определить, какую энергию уносит каждая частица после реакции.

1.14. Какое ядро может образоваться при слиянии двух ядер ⁶Li и какая энергия выделится при этом.

1.15. Вычислить энергию, необходимую для разделения ядра ²⁰Ne на две α-частицы и ядро ¹²C, если известно, что энергия связи на нуклон в этих ядрах соответственно равна 8,03; 7,07; 7,68 МэВ.

1.16. Определить энергию связи нейтрона в ядре ²¹Ne. Даны избытки масс в а. е. м.:

(n)=0,008665, Δ(²⁰Ne) = – 0,00759, Δ(²¹Ne) = – 0,00651.

1.17. Определить минимальную энергию возбуждения, которую необходимо сообщить ядру ¹⁶O, чтобы оно могло испустить -частицу. Даны энергии связи в МэВ: Е_св(¹⁶O) = 127,6; Е_св(¹²С) =92,2; Е_св() =28,3.

1.18. Определить, устойчиво ли ядро ⁸Be относительно распада на две α-частицы, если известно, что энергия связи в ядрах ⁸Be и ⁴He равны соответственно 7,06 и 7,08 МэВ.

1.19. Для ядра ⁶⁰Co оценить вклады отдельных членов формулы Вайцзекера для энергии связи ядра.

1.20. С помощью формулы Вайцзеккера рассчитать энергии отделения нейтронов в четно-четных изотопах ³⁸Ca, ⁴⁰Ca, ⁴⁸Ca.

1.21. С помощью формулы Вайцзекера получить выражение для энергии отделения протона в случае четно-четных ядер.

1.22. Оценить изменение энергии связи ядра при делении тяжелого ядра на два ядра осколка. Рассмотреть случай А = 238, Z = 92.

1.23. Считая, что разность энергий связи пар зеркальных ядер ¹⁵N,¹⁵O и ²⁹Si, ²⁹P определяется только различной энергией кулоновского отталкивания протонов, определить радиусы этих ядер и сравнить их с вычисленными по формуле R = 1,2 ·A^1/3 Фм.

1.24. Найти значение зарядового числа Z, соответствующего наиболее стабильному ядру, при фиксированном массовом числе А.

1.25. Природный бор (атомная масса 10,82 а. е. м.) представляет собой смесь двух изотопов ¹⁰B и ¹¹B. Какова доля каждого изотопа в природном боре?

1.26. Рассчитать размеры ядер ²⁷Al, ⁸⁸Sr, ²³⁸U.

1.27. Оценить расстояние максимального сближения -частицы и ядра золота при бомбардировке мишени из золота пучком -частиц с кинетическими энергиями 22 МэВ. Сравнить результат с суммой радиусов ядер золота и гелия.

1.28. Оценить, до какого расстояния могут сближаться α-частицы и ядра атома азота при прохождении α-частиц с кинетической энергий 6 МэВ через воздушную среду. Сравнить результат с суммой радиусов азота и гелия.