Константы

Скорость света в вакууме с = 3,00 · 10¹⁰ см/с.

Приведенная постоянная Планка ћ = h/2π = 6,58 · 10⁻²² МэВ·с.

Переходная константа ћс = 197,3 МэВ · Фм.

Масса электрона m_e = 0,511 МэВ/с².

Масса протона m_p = 938,272 МэВ/с².

Масса нейтрона m_n = 939,566 МэВ/с².

Единицы субатомной физики

Энергия – 1 МэВ  = 10⁶ эВ = 10⁻³ГэВ = 10⁻⁶ ТэВ = 1,602 · 10⁻¹³ Дж.

Масса – 1 МэВ/с², а также атомная единица массы (a. e . m.) ≡ 1u =

= (масса атома ¹²С)/12 = 931,494 МэВ = 1,6606 10⁻²⁴ г.

Длина – 1 Фм (ферми) ≡ 1 фм, ( fm, фемтометр) = 10⁻¹³ см = 10⁻¹⁵ м.

Важные формулы релятивистской и квантовой физики

Релятивистская частица характеризуется следующими величинами:

m₀ – масса покоя,

m – релятивистская масса,

v – скорость,

p – импульс (точнее, модуль импульса),

T – кинетическая энергия,

E – полная (релятивистская) энергия.

Приведенные характеристики частицы не являются независимыми: знание любых двух величин из этого набора позволяет найти остальные четыре. Для этого используются соотношения:

, где , , c – скорость света.

Например, для нахождения импульса и скорости по известной кинетической энергии и массе покоя частицы получаются формулы:

, , где и .

Для релятивистских частиц время жизни в лабораторной системе координат τ может существенно отличаться от времени жизни в собственной системе координат τ₀:

.

Наряду с релятивистскими эффектами в субатомной физике надо учитывать и квантовые эффекты – принцип неопределенности и волновые свойства частиц.

Принцип неопределенности требует выполнения условий

Δx · Δp_x  ћ, Δy · Δp_y  ћ, Δz · Δp_z  ћ, ΔE · Δt  ћ,

где в формулах Δq – неопределенность величины q.

Энергия E и импульс p свободной частицы связаны с частотой ν, волновым вектором k и длиной волны де Бройля λ соотношениями:

E = hν = ћω, p = ћk, λ = h / p, , ω = 2πν, k = 2π / λ, .

Упрощение численных расчетов может быть достигнуто за счет тождественного преобразования формул с получением в явном виде переходной константы ћc = 197,3 МэВ · Фм  200 МэВ · Фм.

В субатомной физике, особенно в физике высоких энергий, в настоящее время все более широко используется система единиц, в которой с = 1 и ћ = 1. В этой системе формулы релятивистской физики имеют более простую и удобную форму, например:

, .

В системе, где с = 1 энергия, импульс и масса измеряются в одних и тех же энергетических единицах – МэВ(MeV) или ГэВ(GeV), а длина и время меют одинаковую размерность. Условие ћ = 1 позволяет использовать для измерения длины и времени энергетические единицы, а электрический заряд делает безразмерным:

, .

Релятивистские эффекты приводят к тому, что масса ядра всегда меньше суммы масс составляющих его нуклонов.

Энергия связи ядра E_св(A,Z) – это минимальная энергия, необходимая для того, чтобы разделить ядро на отдельные составляющие его нуклоны:

Е_св(A, Z) = [Z m_p + (A – Z)m_n – M(A, Z)]c²,

где Z – число протонов; ( A – Z) – число нейтронов; m_p – масса протона; m_n – масса нейтрона; М(A, Z) – масса ядра с массовым числом А и зарядом Z.

Масса ядра измеряется в атомных единицах массы (а. е. м.). За одну атомную единицу массы принимается 1/12 часть массы нейтрального атома углерода ¹²С:

1 а. е. м. = 1,6606 10⁻²⁷ кг.

А. е. м. выражается через энергетические единицы:

1 а. е. м. = 1,510⁻³ эрг = 1,510⁻¹⁰Дж = 931,494 МэВ.

Энергия связи ядра, выраженная через массу атома M_ат, имеет вид:

Е_св(A, Z) = [Zm_H + (A – Z)m_n – M_ат(A, Z)]c² ,

где m_H – масса атома водорода. В этой формуле пренебрегается энергией связи электронов в атомах.

Удельная энергия связи ядра (A, Z) – это энергия связи, приходящаяся на один нуклон:

(A, Z) = E_св(A,Z) / A.

Дефект массы ядра ΔМ определяется энергией связи ядра ΔМ = E_св/с², т. е. это разность между суммой масс нуклонов, составляющих атомное ядро, и массой ядра. Так как на практике измеряются не массы ядер, а массы атомов, то в справочниках обычно приводится величина Δ (избыток массы), определяемая как разность между массой атома и А атомными единицами массы:

= М_ат(A,Z) – А·u.

В этом случае

Е_св(A, Z) = [Zm_H + (A – Z)m_n – M_ат(A,Z)]c² =[Z·Δ_H+(A–Z)·Δ_n–Δ(A,Z)]c²,

где Δ_H = 7,289 МэВ/с² – избыток массы атома водорода, Δ_n = 8,071 МэВ/с² – избыток массы нейтрона.

Полученная формула удобна для расчета энергии связи, поскольку позволяет непосредственно использовать справочные данные для величин .

Полуэмпирическая формула Вайцзеккера для энергии связи ядра:

E_св(A,Z) = a₁A – a₂A^2/3 – a₃Z²/A^1/3 – a₄(A/2 – Z)²/A + a₅A^–3/4.

• Первое слагаемое в энергии связи ядра подобно энергии связи в жидкости, пропорционально массовому числу A и называется объемным членом.

• Второе слагаемое – поверхностная энергия ядра – уменьшает полную энергию связи, так как нуклоны, находящиеся на поверхности имеют меньше связей, чем частицы внутри ядра. Это аналог энергии поверхностного натяжения.

• Третье слагаемое в энергии связи обусловлено кулоновским взаимодействием протонов. В капельной модели предполагается, что электрический заряд протонов равномерно распределен внутри сферы радиуса R = r₀ ·A^1/3.

• Четвертое слагаемое – энергия симметрии ядра – отражает тенденцию к стабильности ядер с N = Z.

• Пятое слагаемое – энергия спаривания – учитывает повышенную стабильность основных состояний ядер с четным числом протонов и(или) нейтронов.

Входящие в формулу коэффициенты a₁, a₂, a₃, a₄ и a₅ оцениваются из экспериментальных данных по энергиям связи и могут быть приняты равными:

a₁ = 15,75 МэВ; a₂ = 17,8 МэВ; a₃ = 0,71 МэВ; a₄ = 94,8 МэВ;

= 34 МэВ для четно-четных ядер;

= 0 для нечетных ядер;

= – 34 МэВ для нечетно-нечетных ядер.

Радиус ядра R = r₀ ·A^1/3, при этом экспериментальное значение r₀ равно 1,12 Фм для зарядового радиуса ядра, т. е. радиуса распределения протонов в ядре и =1,2 – 1,4 Фм для радиуса распределения ядерного вещества независимо от их заряда. Средняя плотность ядерного вещества составляет примерно 10¹⁴ г/см³. Для ядер с А больше 20 пространственное распределение плотности вещества в ядре хорошо описывается распределением Ферми:

,

где a ≈ 0,5 Фм, R = r₀ · A^1/3, r₀ = 1,3 Фм, ρ₀ = 2,7 · 10¹⁴ г/см³.