Тросовые молниеотводы.

Волновые процессы в линиях электропередач

Процесс распространения электромагнитных волн по ВЛ является весьма сложным, так как линия представляет собой пучок проводов, расположенных над поверхностью земли. Возникновение электромагнитной волны в одном проводе в общем случае обусловливает появление движущихся волн в других проводах. На процесс распространения влияют материал и геометрические размеры проводов, удаленность проводов от земли и состояние самой земли.

Математическое решение задачи распространения электромагнитных волн по системе параллельных проводов, расположенных вблизи поверхности земли (что имеется в случае рассматриваемой ВЛ), является весьма сложной задачей и описывается системой телеграфных уравнений. Точное решение возможно лишь с привлечением весьма громоздкого математического аппарата. У Хаяси [60] эта задача решена с применением расширенного преобразования Лапласа и теоремы разложения Сильвестра. Решение задачи значительно упрощается, если ввести некоторые допущения. Первое допущение: линия является симметричным элементом. Второе – ВЛ представляет собой линейный элемент. Третье – по линии распространяются синусоидальные сигналы. При этом меньшая математическая строгость полученных решений компенсируется наглядностью и простотой соотношений между величинами, что в конечном счете позволяет достаточно просто изложить вопросы распространения волн в линиях электропередачи.

Допущение о симметрии линии обосновано, так как разные фазы линии делаются однотипными (вешаются на общих опорах, используются провода одного сечения, количество изоляторов в фазе одинаковое и т.д). Кроме того, на линии, как правило, выполняется полный цикл транспозиции проводов.

При указанных допущениях, если рассматриваемая трехфазная система состоит из линейных элементов, то расчеты переходных процессов можно существенно упростить или, во всяком случае, свести к исследованию сети, математическое описание которой известно. Действительно, решение задачи значительно упрощается, если произвести преобразование системы координат и реальную линию с фазами АВС заменить линией с составляющими XYZ. Замену осуществить таким образом, чтобы в системе XYZ в матрице фазных сопротивлений присутствовали только диагональные элементы. При этом будет отсутствовать индуктивная связь между составляющими. Тогда исследование 3-фазной ВЛ сводится к рассмотрению трех однофазных линий.

Пусть линия в фазных координатах представлена векторами напряжения и тока соответственно:

, ; (4.167)

и матрицей сопротивлений

. (4.168)

Матрица преобразований, предложенная Фортескью, имеет вид:

,

и соответствующая ей обратная матрица:

,

где , .

Соответственно в симметричных координатах:

, .

. (4.169)

После подстановки (4.168) в (4.169) имеем:

. (4.170)

Диагонализация матрицы означает, что мы получили три однофазные системы: нулевую, прямую и обратную составляющие, не связанные между собой. Поэтому задачу рассмотрения электромагнитных процессов в трехфазной линии ABC, где присутствует связь между фазами, заменяем рассмотрением трех однофазных систем: нулевой, прямой и обратной последовательностей при отсутствии связи между ними.

В качестве простого примера рассмотрим одноцепную симметричную линию электропередачи с удельными параметрами:

, – собственная и взаимная индуктивности;

, – собственная и взаимная емкости;

– активное сопротивление проводов;

, – активные проводимости на землю и между фазами.

Введем обозначения в ФК.:

, ,

, ,

, .

В матричном виде для синусоидальных величин имеем:

Выполним преобразование координат. Перейдем к симметричным координатам.

;

;

;

.

.

Телеграфные уравнения в СК имеют вид:

(4.171)

В матричном виде для синусоидальных величин имеем:

.

В общем случае напряжения , , и токи , , – мгновенные значения величин.

Введем обозначения:

;

;

;

;

;

;

.

С учетом принятых обозначений перепишем телеграфные уравнения:

(4.172)

(4.173)

(4.174)

Системы дифференциальных уравнений (4.172), (4.173), (4.174) описывают процессы в линии в СК.

Системы уравнений (4.172), (4.173), (4.174) однотипны. Поэтому достаточно решить одну систему и ее решение распространить на две другие.

Выполним решение системы (4.172) для синусоидальных режимов, опустив индекс о. Система (4.172) представляет собой телеграфное уравнение для идеальной однопроводной линии (рис. 31). Схема замещения такой линии представляет собой множество соединенных последовательно бесконечно малых элементов длины dx, каждый из которых имеет сопротивление , индуктивность , проводимость и емкость . , , , – соответственно активное сопротивление, индуктивность, емкость, активная проводимость на единицу длины одиночного провода линии с учетом земли как обратного провода.

Решение полученной системы уравнений в частных производных при определенных начальных и граничных условиях дает возможность определить ток и напряжение как функции, зависящие от двух величин: расстояния от начала линии и времени. Эти уравнения справедливы при любых изменениях напряжения и тока во времени.

Решение задачи упростится, если рассматривать процессы в линии при синусоидальном напряжении источника питания. Вводя комплексные значения напряжения, тока, сопротивления и проводимости, от уравнений в частных производных перейдем к простым дифференциальным уравнениям:

; (4.175)

, (4.176)

где удельные величины , .

Продифференцируем уравнения (4.175), (4.176).

; (4.177)

. (4.178)

В уравнениях (4.177), (4.178) заменим , согласно (4.175), (4.176).

В результате получим:

. (4.179)

Решение системы (4.179) имеет вид

, (4.180)

где , – постоянные интегрирования;

– волновое (характеристическое) сопротивление линии;

, продольное сопротивление линии;

– поперечная проводимость линии;

– коэффициент распространения;

– аргумент волнового сопротивления.

Постоянные интегрирования и в выражении (4.180) можно выразить через напряжение и ток начала или конца линии.

Если заданы граничные условия на конце линии, то удобнее отсчитывать расстояние от конца, приняв координату получаем:

, . (4.181)

Система (4.180) может быть переписана в следующем виде:

, (4.182)

где x'=l – x.

Уравнения (4.182) преобразуются с помощью гиперболических функций:

. (4.183)

Положим x'=l, получим связь напряжений и токов по концам участка линии:

, (4.184)

где I₁ и U₁ – ток и напряжение в начале участка линии;

I₂ и U₂ – ток и напряжение в конце участка линии.

При математическом моделировании линии электропередач заменяют П- или Т-образными схемами замещения. Для этого линия рассматривается как четырехполюсник. При этом можно записать известные соотношения:

. (4.185)

Сравнивая (4.185) и (4.184), получаем:

. (4.186)

Воспользуемся П- и Т-образными схемами замещения.

Рис. 32. Схема замещения линий: а – П-образная схема; б – Т-образная схема

_{Параметры схемы замещения равны:}

Для П-образной схемы: ; ; .

Для Т-образной схемы: ; ; .

Выразим комплексы , в показательной форме:

;

,

тогда мгновенные значения напряжения и тока примут вид:

.(4.187)

Слагаемыми напряжения и тока являются бегущие волны: одна движется в направлении возрастания координаты , другая в направлении убывания. Обе составляющие затухают в направлении движения. В любой фиксированной точке , слагаемые представляют собой периодическую функцию времени. В любой же фиксированный момент времени каждое из слагаемых представляет собой затухающее колебание вдоль линии. Волна, перемещающаяся от начала линии к концу, носит название прямой или падающей. Вторая составляющая тока или напряжения, которая перемещается от конца линии к началу, называется обратной или отраженной.

Основными характеристиками волны являются фазовая скорость и длина волны. Фазовой скоростью волны называют скорость перемещения прямой или обратной волны. Иногда говорят, что это скорость перемещения фазы колебания, которая в течение времени (по мере увеличения расстояния , пройденного волной) остается постоянной. Отсюда следует, что . Тогда

и

. (4.188)

Легко убедиться, что фазовая скорость обратной волны . Знак минус указывает на то, что обратная волна движется в направлении, противоположном возрастанию .

Длиной волны называется расстояние между ближайшими двумя точками, фаза колебаний в которых, различается на . С учетом этого определения можно записать:

.

,

откуда

. (4.189)

С учетом (5.188) , тогда

, (4.190)

т. е. за период волна перемещается на расстояние, равное длине волны .

В напряжении знаки прямой и обратной волны совпадают, а токов противоположны, поэтому можно записать:

; (4.191)

, (4.192)

где

; (4.193)

. (4.194)

Из (4.193), (4.194) вытекает, что токи и напряжения как прямой, так и обратной волны связаны между собой законом Ома:

Рис. 33. Прямая (падающая) (а) и обратная (отраженная) (б) волны

; . (4.195)

Введение понятия о прямых и обратных волнах в ВЛ при установившемся режиме облегчает представление и анализ процессов в линии. Физически в линии существуют только результирующие токи и напряжения и, что разложение их на прямые и обратные волны следует считать лишь удобным приемом. На рис. 33 изображена кривая: а – прямая (падающая), б – обратная (отраженная).

Решение телеграфных уравнений в конкретных условиях определяется граничными и начальными условиями [2].

Если в какой-либо точке однородной линии с волновым сопротивлением подключен сосредоточенный импеданс или линия с другим волновым сопротивлением, то в этой точке должны выполняться граничные условия. Переход в эту точку прямой волны, которую в этом случае называют падающей, вызывает появление обратной волны, называемой отраженной. Величина и полярность отраженной волны зависят от граничных условий.