12.. Мониторинг массовых рисков
Мониторинг (“monitor“- лат. напоминающий, надзирающий) - это систематические наблюдения за определяющими параметрами любых процессов, выход которых за допустимые пределы приводит к экономическим или другим потерям.
Например, мониторинг окружающей среды включает периодический контроль за состоянием атмосферы, воды, почвы и осадков по содержанию вредных веществ. Результаты измерений сравнивают с предельно допустимой концентрацией загрязняющих ингредиентов, а полученная информация используется для принятия решений.
В медицине применяют специальный прибор монитор, позволяющий одновременно контролировать функционирование сердца по электрокардиограмме, кровяное давление, температуру тела, частоту пульса и дыхания. При выходе указанных показателей за установленные пределы срабатывает звуковая и световая сигнализация.
Производственный мониторинг представляет собой статистический контроль выходных параметров технологических или экономических процессов в инвестиционной, производственной и финансовой деятельности предприятия.
Приведенные примеры, на первый взгляд, не имеют ничего общего. Однако, с точки зрения теории контроля, между ними нет существенных различий, так как во всех случаях используют почти одни и те же методы обработки и интерпретации данных оперативной диагностики. Разница может заключаться лишь в способах и устройствах для сбора исходной информации.
Кроме того, любые контролируемые процессы в обычном установившемся режиме являются стационарными случайными функциями с неизменным во времени математическим ожиданием и дисперсией. Другими словами, среднее значение параметра и неизбежные случайные вариации относительно среднего должны находиться в заданных пределах. Выход параметра за допустимые пределы означает необходимость соответствующего вмешательства.
Большинство статистических методов выявления нарушений состояния системы основано на использовании контрольных карт с предварительно нанесенными верхними и нижними границами регулирования, а также предупредительными границами. Если значение контролируемой характеристики окажется за пределами установленных границ, выполняют управляющие воздействия по восстановлению стабильности процесса.
Статистическое регулирование случайных процессов по номиналу и допускам можно использовать не только в управлении качеством, а при анализе любых временных рядов, например, динамики спроса, производственных и товарных запасов, затрат на рубль реализованной продукции и т.д.
Основным рабочим инструментом оперативной диагностики является контрольная карта, которая впервые была предложена американским математиком А. Шухартом. Чрезвычайно простая идея сводилась к тому, что на миллиметровку наносят горизонтальную ось, соответствующую последовательным номерам изделий или времени. Тогда на вертикальной оси естественно откладывать результаты измерений требуемых свойств продукции.
Линии, отделяющие качественную продукцию от брака, будут в таком случае идти параллельно горизонтальной оси. Попадание текущего значения между этими линиями означает, что все в порядке и можно продолжить работу. А при выходе за границы поля допуска надо провести коррекцию процесса в соответствии с опытом и знаниями лица, принимающего решения. Детали этой процедуры зависят от того, какие признаки контролируют (качественные или количественные) и как отбирают объекты для анализа (все подряд, выборочно, периодически из непрерывного потока и т.д.).
Существует более десяти государственных стандартов по контрольным картам. В зависимости от выбранного признака качества различают два вида карт. На построенных по количественному признаку соответствующие точки получают измерениями в непрерывной шкале (объем, длина, масса, выручка, издержки), а по качественному (альтернативному) точки соответствуют числу или доле объектов в выборке по принципу “годен - негоден”.
График на контрольной карте, полученный соединением последовательности эмпирических точек, представляет собой кусочно-линейную аппроксимацию одной реализации случайного процесса изменения признака качества.
Сначала исследуют стабильность и точность процесса, означающие постоянство во времени математического ожидания, то есть соответствие номиналу среднего значения признака. Для оценки стабильности строят распределение выборки эмпирических значений показателя качества, полученной в ходе реального процесса.
Если процесс стабилен, то распределение количественных признаков должно быть нормальным, а качественных - биноминальным. Однако на практике при малых вероятностях нежелательных событий (р<0,1) вместо биноминального проще использовать распределение Пуассона, поскольку в подавляющем большинстве реальных ситуаций доля брака значительно меньше десяти процентов.
В данном разделе специально показана технология обработки данных вручную, поскольку механическое применение инструментов Excel не имеет смысла.
Если вероятность события в любой момент времени всегда постоянна и среднее число событий за время t равно m, то вероятность появления x событий за это же время, согласно закону Пуассона, составляет:
(12.1)
где m=np – математическое ожидание или среднее число регистрируемых событий в выборке объемом n. Причем случайная величина х может принимать только целые и положительные значения.
Ряд распределения случайной величины х в общем виде имеет вид
х |
0 |
1 |
2 |
3 |
. . . . . . . |
п |
Р(х) |
|
|
|
|
. . . . . . . |
|
Значения функции р можно получить с помощью статистической функции ПУАССОН в электронных таблицах и приводятся в большинстве изданий по теории статистики.
Эмпирические значения количественного признака для стабильного процесса подчиняются нормальному распределению (закон Гаусса-Лапласа):
(12.2)
,
где
- среднее значение случайной величины
х;
-
среднее квадратическое отклонение.
Если
из любой случайной величины х
вычесть
и разделить на
,
то получим нормированное и центрированное
распределение с математическим ожиданием
=
0 и среднеквадратическим отклонением
=1,
плотность которого также табулирована
(НОРМСТРАСП):
(12.3)
где
.
Отсюда следует:
(12.4)
где
-
ширина интервала группирования
эмпирических данных.
Для проверки соответствия эмпирических данных гипотезе о характере распределения применяют критерий согласия “хи-квадрат”, который определяется по формуле:
(12.5)
,
где k - число интервалов для сравнения;
-
эмпирическая частота в i
- м интервале;
-
теоретическая частота в том же интервале.
Значения
критерия
табулированы,
причем входными величинами является
число степеней свободы (k-r-1)
и уровень значимости-,
(r
число параметров в уравнении функции
распределения). Для закона Пуассона
r=1,
для закона Гаусса r=2.
Уровень значимости выбирают, как правило, =0,05 или =0,01. Если расчетное значение меньше табличного, значит, выбранный теоретический закон не противоречит эмпирическим данным.
Под точностью процесса понимают возможные вариации признака вследствие случайных причин. Для ее оценки последовательно отбирают множество относительно малых выборок через регулярные интервалы времени в зависимости от скорости протекания процесса. На практике приходится извлекать как минимум 25 выборок, объем которых устанавливается с учетом ряда факторов, включая точность измерений и производительность процесса. При контроле по количественному признаку размер выборки чаще всего назначают 3,4,5 единиц, а по качественному - 25,50,100 единиц.
Мерой точности является в обоих случаях среднее квадратическое отклонение. Для альтернативного признака этот показатель определяется как отношение общего числа случаев брака к общему числу объектов по всей выборке. Для количественного признака точные вычисления довольно громоздки, поэтому на практике применяют упрощенный способ определения среднего квадратического отклонения.
(11.6)
где
- средний размах по всем выборкам; d
- константа (табл. 12.1), значения которой
зависят от объема выборки n.
Таблица 12.1
N |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
D |
1,128 |
1,693 |
2,059 |
2,326 |
2,534 |
2,704 |
Точная расчетная формула имеет вид
(12.7)
где i - номер выборки;
j - номер объекта в выборке.
Знание характера проявления случайных флуктуаций установившегося (отлаженного) процесса лежит в основе построения контрольных карт, представляющих собой временной график выборочных характеристик среднего , размаха w (количественный признак) и числа объектов в выборке (качественный признак). На них наносят границы, указывающие момент нарушения системы, в частности, разладки технологического процесса, которые устанавливают с таким расчетом, что если процесс идет нормально, то вероятность выхода выборочной точки за их пределы очень мала. Другими словами, эти границы соответствуют доверительному интервалу при заданном уровне доверия.
Стандартная ошибка выборки в любом случае определяется по формуле
(11.8)
,
где
-
для количественного признака;
-
для качественного признака;
-
выборочное среднее квадратическое
отклонение;
п - объем выборки;
-
доля дефектных объектов.
Предельная ошибка
,
(12.9)
где
t
- коэффициент
кратности, выбираемый в зависимости
от принятого уровня доверительной
вероятности
.
Некоторые значения t из таблицы интеграла вероятностей, чаще всего используемые в практических расчетах, даны в табл. 12.2
Таблица 12.2
|
0,683 |
0,866 |
0,950 |
0,954 |
0,987 |
0,997 |
t |
1 |
1,5 |
1,96 |
2 |
2,5 |
3 |
Если
принята доверительная вероятность
0,997(t=3),
то это означает, что лишь три объекта
из 1000 могут выйти за пределы границы
“среднее значение процесса
”.
На таком уровне обычно устанавливают
границы регулирования.
Для предупредительных границ уровень доверия часто назначают 0,95 (t=1,96), то есть в установившемся режиме 5 из 100 точек могут выйти за эти пределы.
Следует еще раз отметить, что на практике очень часто встречаются случайные процессы, которые в нормальном установившемся режиме протекают во времени статистически однородно и имеют вид непрерывных случайных колебаний относительно среднего значения. Такие процессы называют стационарными.
Если процессы имеют определенную тенденцию развития во времени, то они являются нестационарными. Отсюда следует, что и дисперсия и математическое ожидание для стационарных процессов должны быть постоянными. Однако последнее требование не является обязательным.
Если процесс нестационарный только за счет переменного математического ожидания, то выполняется переход к центрированной случайной функции, для которой среднее значение равно нулю. В этом случае мы по существу изучаем стационарный процесс отклонений от номинала.
Оценка стабильности процесса (количественный признак). В табл. 12.3 приведены данные отдела сбыта службы маркетинга предприятия по объемам продаж, тыс. руб., за 60 последних недель. Поскольку пример носит иллюстративный характер, реальные цифры округлены с точностью до 1 тыс. руб. (выручка в сопоставимых ценах).
Таблица 12.3
Валовая выручка за 60 последних недель, тыс. руб.
9 |
8 |
10 |
11 |
9 |
10 |
9 |
10 |
6 |
9 |
8 |
8 |
9 |
9 |
9 |
9 |
8 |
10 |
9 |
8 |
7 |
9 |
10 |
8 |
9 |
9 |
11 |
10 |
10 |
8 |
9 |
9 |
10 |
6 |
9 |
8 |
8 |
11 |
8 |
9 |
7 |
9 |
8 |
6 |
9 |
8 |
9 |
6 |
8 |
11 |
8 |
9 |
7 |
9 |
9 |
7 |
10 |
9 |
7 |
11 |
Группируем информацию в виде ряда распределения. Для этого по формуле Стерджесса определяем ориентировочное число групп:
.
Примем m=6.
Величина интервала определяется как отношение размаха к числу групп:
В табл. 12.4 представлены сгруппированные исходные данные.
Таблица 12.4