Занятие 1

Погрешности. Значащие и верные цифры.

Погрешности арифметических действий. Погрешность функции

Пусть   - точное значение,               - приближенное значение некоторой величины.  Абсолютной погрешностью приближенного значения   называется величина   .

Относительной погрешностью значения   (при   0) называется величина    .

Так как, значение   как правило неизвестно, чаще получают оценки погрешностей вида:        .

Величины   и   называют верхними границами (или просто границами) абсолютной и относительной погрешностей.

ПРИМЕР 1. Абсолютная и относительная погрешности приближенного   числа  e.

Число e - трансцендентное число, представляется бесконечной непериодической дробью e = 2.71828. Приближенное значение числа e* = 2.7. Граница абсолютной погрешности | e - e* | < 0.019, относительная погрешность числа

,     

Значащими цифрами числа      называют все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой слева.

ПРИМЕР 2. Значащие цифры числа.

начащие цифры чисел подчеркнуты: 0.03589,    10.4920,   0.00456200.

Значащую цифру числа    называют верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы разряда, соответствующего этой цифре.

ПРИМЕР 3. Верные цифры числа.

Верные цифры числа a = 356.78245 подчеркнуты.

Если  , то верных цифр в числе 5:    a = 356.78245.

Если  , то верных цифр в числе 4:    a = 356.78245.

Если  , то верных цифр в числе 7:    a = 356.78245.

Если  , то верных цифр в числе 8:    a = 356.78245.

Для оценки погрешностей арифметических операций следует использовать следующие утверждения:

Абсолютная погрешность алгебраической суммы (суммы или разности ) не превосходит суммы абсолютной погрешности слагаемых, т.е.

Если а и b - ненулевые числа одного знака, то справедливы неравенства ,        , 

где   , 

Для относительных погрешностей произведения и частного приближенных чисел верны оценки: 

,  .

ПРИМЕР 4. Погрешности арифметических действий.

Пусть числа x и y заданы с абсолютными погрешностями  x и  y

x : = 2.5378    x : = 0.0001                  y : = 2.536    y : = 0.001

Тогда относительные погрешности чисел

,       x = 3.94 x 10^-5              ,       y = 3.94 x 10^-4

Найдем погрешности суммы и разности чисел

S1 : = x + y         S1 : =  x +  y       

S1 = 5.0738        S1 = 1.1 x 10^-3        S1 = 2.17 x 10^-4

S2 : = x - y         S2 : =  x +  y       

S2 = 1.8 x 10^-3        S2 = 1.1 x 10^-3         S2 = 0.61

Относительная погрешность разности в 2000 раз больше относительной погрешности суммы!

Возьмем теперь другие значения x и y и вычислим погрешности произведения и частного x : = 2.5378    x : = 0.0001                  y : = 0.006    y : = 0.001

Тогда относительные погрешности чисел

    S3=x*y        

S3 = 0.015227                       S4 = 422.966667

S3 : =  x +   y                       S4 : =  x +  y

 S3 : = | S3 | x   S3                S4 : = | S4 | x   S4

 S3 = 6.604259 x 10^-6                S4 = 0.183452

Абсолютная погрешность частного в 20000 раз больше абсолютной погрешности произведения!

Погрешность вычисления функции.

Пусть   - дифференцируемая функция переменных, вычисление которой производится при приближенно заданных значениях аргументов     . Тогда для абсолютной погрешности функции   справедлива следующая оценка   .

Здесь [x, x*] - отрезок, соединяющий точки x и x* =(  )

Для относительной погрешности функции справедливо следующее приближенное равенство  , где 

ПРИМЕР 5. Погрешность вычисления функции многих переменных

Пусть x : = -3.59,       y : = 0.467,      z : = 563.2.

По приведенным начальным условиям считаем, что погрешности равны

x : = 0.01,      y : = 0.001,      z : = 0.1.

Значение функции равно f ( x, y, z ) = 6.64198865

Производные функции

,

,

.

Абсолютная погрешность

 f ( x, y, z ) = 8.196 x 10 ^-3     

Относительная погрешность

 f ( x, y, z ) = 1.234 x 10 ^-3

Вариант N

Название фигуры

Параметры (cm)

Вычисляемые характеристики

Прямоугольник

Сторона А=15,1

Сторона В=9,10

Периметр

Площадь

Прямоугольник

Сторона А=120

Сторона В=5,1

Периметр

Площадь

Равносторонний треугольник

Сторона А=2,1

Периметр

Площадь

Равносторонний треугольник

Высота h=1,82

Периметр

Площадь

Параллелогра́мм

Сторона А=12

Сторона В=5,1

Угол α=45,0

Периметр

Площадь

Параллелогра́мм

Сторона А=12

Высота h=3,1

Угол α=45,0

Периметр

Площадь

Квадрат

радиус вписанной окружности r=2.1

Периметр

Площадь

Квадрат

радиус описанной окружности R=0.51

Периметр

Площадь

Круг

радиус R=2.51

Длина окружности

Площадь

Равнобедренная

трапеция

основание А=4,9

основание В=2,01

Высота h=3,1

Площадь

N

A

N

A

N

A

1, 7

3 2 2

33 28 24

360 320 270

2, 8

30 34 19

314 354 200

2 8 13

3, 9

1.3 1 13

3.4 1.4 23

5 3 1.5

4, 10

9 5 6

17 9 11

7 4 5

5, 11

-7 -7 -1

0 -2 -6

5 6 4

6, 12

3 1 13

5 3 15

11 5 40

N

A

N

A

N

A

1, 7

2. 16 -6

3. 24 5

1 8 11

2, 8

2 4.4 -2

1 2 -1

3 -5 0

3, 9

3 5 3

9 15 9

6 7 2

4, 10

48. 3 6

32 2 4

5 -1 2

5, 11

2. 0.4 6

1.1 0.2 3

2.3 1.2 4

6, 12

5 5.5 5.5

1 1 1

5 -1 2

N

Коэффициенты

N

Коэффициенты

N

Коэффициенты

1, 7

b* = -39.6

c = -716.85

2, 8

b = 27.4

c* = 187.65

3, 9

b* = 37.4

c = 187.65

4, 10

b = -30.9

c* = 238.7

5, 11

b* = -3.29

c = 2.706

6, 12

b = -3.29

c* = 2.706