Виды степенных средних

1. Средняя гармоническая

К= - 1

или

Средняя гармоническая применяется в случае, если известны варьирующие обратные значения признака.

2. Средняя геометрическая

К=0

, где

- знак умножения.

Наиболее широкое применение средняя геометрическая получила для определения средних темпов изменения в рядах динамики, а также в рядах распределения.

3. Средняя арифметическая

К=1

Средняя арифметическая применяется в тех случаях, когда объём варьирующего признака для всей совокупности образуется как сумма значений признака отдельных её единиц.

4. Средняя квадратическая

К=2

5. Средняя кубическая

К=3

6. Средняя биквадратическая

К=4

и другие.

Для одной и той же совокупности имеют место строго определённые соотношения между различными видами средних. Эти соотношения называют правилом мажорантности средних:

При исчислении средней величины в вариационном ряду с равными интервалами часто используют «способ моментов».

;

m₁- величина момента первого порядка;

i - величина интервала;

А – центральная варианта ряда (условный 0

Наиболее распространённым видом средних величин является средняя арифметическая, которая обладает рядом математических свойств. Они более полно раскрывают ее сущность и в ряде случаев используются для упрощения ее расчетов.

Основные свойства средней арифметической

• Произведение средней на сумму частот всегда равно сумме произведений вариант на частоты

• Если от каждой варианты отнять какое-либо произвольное число, то новая средняя уменьшится на то же число

• Если к каждой варианте прибавить какое-либо произвольное число, то средняя увеличится на это же число

• Если каждую варианту разделить на какое-либо произвольное число, то средняя арифметическая уменьшится во столько же раз

• Если каждую варианту умножить на какое-либо произвольное число, то средняя арифметическая увеличится во столько же раз

• Если все частоты (веса) разделить или умножить на какое-либо число, то средняя арифметическая от этого не изменится

• Сумма отклонений вариант от средней арифметической всегда равна нулю

2. Структурные средние величины, их смысл и значение

Важным видом средних величин являются структурные (непараметрические) средние. Их используют для изучения внутреннего строения и структуры рядов распределения значений признака. К основным видам структурных средних относят моду и медиану.

Мода – это величина признака (варианта), которая чаще всего встречается в данной совокупности. В вариационном дискретном ряду модой выступает варианта, имеющая наибольшую частоту.

Медиана – это варианта, которая находится в середине вариационного ряда. Медиана делит ряд пополам, по обе стороны от неё (вверх и вниз) находится одинаковое количество единиц совокупности.

В ранжированных рядах несгруппированных данных медиана равна значению признака расположенного строго в середине ряда. В случае чётного объёма ряда медиана равна средней из двух вариантов, находящихся в середине ряда.

Виды структурных (непараметрических) средних

1. Мода

В интервальных рядах с равными интервалами мода вычисляется по формуле

,

где

Х₀ - минимальная граница модального интервала;

i- величина модального интервала;

f_м- частота модального интервала;

f_м-1 - частота интервала предшествующего модальному интервалу;

f_м+1 - частота интервала, следующего за модальным

Модальный интервал в интервальном ряду определяется по наибольшей частоте.