Глава 2. Постановка, геометрична інтерпретація та канонічна форма задачі лінійного програмування

2.1. Загальна економіко-математична модель задачі лінійного програмування

2.2. Форми запису задач лінійного програмування

2.3. Основні теореми лінійного програмування

2.4. Канонічний вигляд задачі лінійного програмування

2.1. Загальна економіко-математична модель задачі лінійного програмування

В загальному випадку задача лінійного програмування та її економіко-математична модель подаються в наступному вигляді: серед розв’язків системи з m лінійних рівнянь (нерівностей) з n невідомими

(2.1)

знайти такий, при якому цільова функція лінійної форми

(2.2)

набуває екстремального (максимального чи мінімального) значення.

Коефіцієнти – задані константи.

Для потужної системи супермаркетів великого міста закуповуються кондитерські вироби з трьох кондитерських фабрик за цінами відповідно 3.5; 5 та 4.5 грн. за 1 кг. Термін придатності кондитерських виробів дуже обмежений (кілька днів). На завантаження і доставку 1 т кондитерських виробів із заводів витрачається відповідно 12, 8, та 9 годин. Замовлено 11 т продукції і для своєчасної доставки необхідно, щоб на неї витрачалося не більше 24 годин. Потрібно визначити, в кого та скільки закуповувати продукції, якщо вищевказані підприємства можуть виділити для продажу відповідно 4, 7 та 5 т кондитерських виробів.

Побудова економіко-математичної моделі

Позначимо: х₁ – кількість кондитерських виробів, що буде закуплена на першій фабриці (т); х₂, х₃ — кількість кондитерських виробів, закуплених відповідно на другій і третій фабриках (т).

Поставка потрібної кількості продукції описується рівністю:

Наступне обмеження описує витрати часу на завантаження і доставку продукції:

Обмеження щодо можливостей поставок продукції з кожної фабрики:

Вартість продукції, що закуповується, визначається як сума добутків ціни на відповідні її обсяги. Ціни 1 т. кондитерських виробів відповідно дорівнюють 3500, 5000 та 4500 грн. Отже, цільову функцію можна записати так:

Економіко-математична модель задачі має вигляд:

за умов:

У загальній задачі лінійного програмування використовуються наступні поняття.

Вектор , координати якого задовольняють обмеження системи (2.1), називається планом або допустимим розв’язком.

План називається опорним, якщо вектори P_j, при утворюють лінійно незалежну систему. Система векторів є лінійно незалежною, якщо визначник матриці, складеної із компонент векторів, не дорівнює нулю.

Сукупність усіх допустимих розв’язків (планів) задачі лінійного програмування утворює область допустимих розв’язків.

Оптимальним планом, або оптимальним розв’язком задачі лінійного програмування називається план, при якому цільова функція набуває екстремального значення.

2.2. Форми запису задач лінійного програмування

Задачу лінійного програмування можна подати в чотирьох наступних формах:

1. За допомогою знака суми

(2.3)

(2.4)

2) У геометричній формі. При цьому для кожного i-го обмеження, що має вигляд рівняння у n-вимірному просторі задається півплощина (або гіперплощина) розв'язків. В результаті перетину всіх півплощин, що визначаються обмеженнями, утворюється опуклий многогранник допустимих розв’язків.

Цільову функцію в n-вимірному просторі геометрично можна інтерпретувати як сімейство паралельних півплощин, положення кожної з яких визначається значенням параметра F.

Потрібно знайти таку точку многогранника розв’язків, в якій цільова функція набуває максимального (мінімального) значення.

На рис. 2.1 подано геометричне представлення деякої задачі лінійного програмування у двовимірному просторі з чотирма обмеженнями та цільовою функцією виду . Опуклим многогранником допустимих розв’язків є многогранник ABCDE. Координати будь-якої його точки задовольняють як систему обмежень, так і умову невід’ємності змінних, оскільки він знаходиться в першій координатній півплощині.

В § 3.1 можна детально ознайомитися з графічним методом розв’язування задач лінійного програмування.

У тому випадку, якщо в системі обмежень буде не дві, а три змінних, то кожна нерівність геометрично визначатиме гіпепрпівпростір тривимірного простору. Якщо ж у системі обмежень кількість змінних більша, ніж три (х₁, х₂,… х_n), то кожна нерівність визначає гіперпівпростір n-вимірного простору.

Зауважимо що, якщо область допустимих розв’язків необмежена, то мінімум чи максимум лінійної функції може і не досягатися.

Рис. 2.1. Геометрична форма представлення задачі лінійного програмування

3) У векторно-матричній формі

(2.5)

(2.6)

Тут – матриця коефіцієнтів при змінних ; – вектор-стовпчик змінних ; – вектор-стовпчик вільних членів ; – вектор-рядок коефіцієнтів при змінних у цільовій функції .

4) У векторній формі

(2.7)

A₁x₁ + A₂x₂ + … + A_nx_n = B (2.8)

,

де – вектори коефіцієнтів при змінних.