1.4. Приклади економічних задач з напрямку математичного програмування

Починаючи з робіт Л. В. Канторовича (див. § 1.1), в математичному програмуванні сформовано певний набір класичних постановок задач, економіко-математичні моделі яких широко використовуються в практичних дослідженнях економічних проблем. Наведемо кілька формалізованих типових постановок економічних задач, що розв’язуються методами математичного програмування.

1. Задача оптимізації виробництва (планування виробництва)

Деяке підприємство випускає n видів продукції. Керівництву необхідно вирішити, яку саме кількість кожного продукту необхідно виробити; тобто потрібно скласти план виробництва – вектор , де – кількість одиниць j-го виду продукції . При цьому вважається, що підприємство має в своєму розпорядженні обмежені ресурси, обсяг яких відомий (значення b_i ). Технологічні можливості виробництва визначаються значеннями коефіцієнтів , що показують, яку кількість i-го ресурсу необхідно витратити для випуску однієї одиниці j-го продукту. У випадку лінійної задачі математичного програмування технологія виробництва вважається лінійною, тобто передбачається, що всі витрати ресурсів ростуть прямо пропорційно обсягам випуску.

Встановлюваний керівником план повинен володіти екстремальними властивостями, тобто повинен забезпечити максимальний прибуток підприємству, якщо відомо, що від продажу однієї одиниці j-го продукту підприємство отримує прибуток у розмірі с_j.

Математична модель даної задачі є такою:

знайти максимум функції за умов:

2. Задача складання раціону

Деякий раціон складається з кількох видів продуктів харчування . Відомі: вартість одиниці кожного компонента раціону с_j, потреба організму в поживних речовинах (жири, білки, вуглеводи, вітаміни тощо), вміст кожної поживної речовини в одиниці кожного продукту . Необхідно скласти оптимальний раціон, що забезпечує організм необхідною кількістю поживних речовин.

Критерій оптимальності – мінімальна вартість раціону.

Математична модель задачі: знайти мінімум функції за умов:

3. Задача оптимального розподілу виробничих потужностей підприємств

Є кілька підприємств, що виготовляють певну кількість видів продукції. Відомі: фонд робочого часу кожного підприємства; потреби в продукції кожного виду; матриця потужностей виробництва всіх видів продукції, що виготовляються на кожному підприємстві; собівартості виробництва одиниці продукції кожного підприємства. Необхідно розподілити виробництво продукції між підприємствами у такий спосіб, щоб задовольнити потреби у виготовленні продукції та максимально використати виробничі потужності підприємств.

Критерій оптимальності – мінімальні сумарні витрати на виготовлення продукції.

4. Транспортна задача

У даній задачі розглядається певна кількість пунктів виробництва та споживання деякої однорідної продукції (кількість пунктів виробництва та споживання може збігатися і не збігатися). Відомі обсяги виготовленої продукції в кожному пункті виробництва та потреби кожного пункту споживання. Також задана матриця, елементи якої є вартістю транспортування одиниці продукції з кожного пункту виробництва до кожного пункту споживання. Необхідно визначити оптимальні обсяги перевезень продукції (тобто, такі, що мінімізують сумарну вартість транспортування продукції), за яких були б враховані необхідності вивезення продукції від виробників та забезпечення вимог споживачів.

Вищеназвані типи задач математичного програмування є найбільш поширеними. Серед інших можна назвати задачі комівояжера, оптимального розподілу капіталовкладень, оптимального використання обладнання і т.д. Всі розглянуті задачі залежно від наявності та точності початкової інформації, а також мети дослідження можуть бути сформульовані як у вигляді статичних, детермінованих, лінійних задач, так і в складнішій постановці, де один, кілька чи всі параметри визначаються з певним рівнем імовірності та використовуються нелінійні залежності.