Глава 1. Оптимізаційні моделі та основи теорії математичного програмування

1.1. Предмет, об’єкт та історія розвитку математичного програмування

1.2 Економіко-математична модель задачі математичного програмування

1.3. Класифікація задач математичного програмування

1.4 Приклади економічних задач з напрямку математичного програмування

1.1. Предмет, об’єкт та історія розвитку математичного програмування

Математичне програмування – один із напрямків прикладної математики, предметом якого є постановка та розв’язування оптимізаційних задач на знаходження екстремуму цільової функції при певних заданих умовах (обмеженнях). Разом з тим математичне програмування є одночасно і невід’ємною складовою частиною курсу економіко-математичних методів і моделей, оскільки основна увага тут приділяється знаходженню розв’язків економічних задач передусім у практиці планування та організації виробництва. При цьому розв’язання будь-якої екстремальної економічної задачі складається з підготовки інформації, побудови економіко-математичної моделі, відшукання оптимального плану, економічного аналізу отриманих результатів і визначення можливостей їх практичного застосування.

Об’єктом математичного програмування є економічна діяльність людини, яка потребує вибору оптимального варіанту дій із всієї можливої їх сукупності.

На перший погляд, назва «Математичне програмування» дуже асоціюється з програмуванням як процесом створення комп’ютерних програм при допомозі спеціальних мов програмування. Проте насправді це лише не дуже вдалий переклад англійського терміну mathematical programming, що означає розроблення на основі математичних розрахунків програми дій для досягнення обраної мети.

Характерною особливістю задач математичного програмування є те, що оптимальне значення цільової функції досягається на межі множини допустимих її значень, що практично унеможливлює використання класичних методів пошуку екстремуму функції при розв’язанні таких задач.

Основними розділами математичного програмування є:

• Лінійне програмування;

• Нелінійне програмування;

• Стохастичне програмування;

• Динамічне програмування.

Початком математичного програмування в сучасному його розумінні вважаються 30-ті роки ХХ століття. У цей час з’являються головні праці радянського вченого Л. В. Канторовича. У Ленінградському університеті ним були вперше сформульовані та досліджені основні задачі, критерії оптимальності, методи розв’язання, економічна та геометрична інтерпретація результатів розв’язання задач лінійного програмування. 1939 року Л. В. Канторович оприлюднює монографію «Математичні методи організації і планування виробництва».

Сам термін «лінійне програмування» був введений дещо пізніше, а саме 1951 року у працях американських вчених Дж. Данцига та Г. Кумпанса. Однак у своїй монографії Дж. Данциг зазначає, що Л. В. Канторовича слід визнати першим, хто виявив, що широке коло важливих виробничих задач може бути подане у чіткому математичному формулюванні, яке уможливлює підхід до таких задач з кількісного боку та розв’язання їх чисельними методами.

1947 року Дж. Данцигом також був розроблений основний метод розв’язування задач лінійного програмування – симплексний метод, що вважається початком формування лінійного програмування як самостійного напрямку в математичному програмуванні. Наступним кроком стали праці Дж. Неймана щодо розвитку концепції двоїстості, що уможливило розширення практичної сфери застосування методів лінійного програмування.

Періодом найінтенсивнішого розвитку математичного програмування є п’ятдесяті роки. У цей час з’являються розробки нових алгоритмів та низка теоретичних досліджень з різних напрямків математичного програмування, з яких можна виділити працю Г. Куна і А. Таккера (1951 рік, наведено необхідні та достатні умови оптимальності нелінійних задач) та ряд робіт присвячених квадратичному програмуванню. Також у п’ятдесятих роках сформувався новий напрямок математичного програмування – динамічне програмування, значний вклад у розвиток якого вніс американський математик Р. Белман.

На сучасному етапі математичне програмування включає широке коло задач, що охоплюють різноманітні проблеми розвитку та функціонування реальних економічних систем. Розробляються банки економіко-математичних моделей, які в поєднанні з сучасною надзвичайно потужною та швидкодіючою обчислювальною технікою утворюють ефективні системи підтримки прийняття рішень у різних галузях економіки.