5.2. Методи побудови початкового опорного плану транспортної задачі

Так само, як і в звичайному симплексному методі, розв’язування транспортної задачі полягає в цілеспрямованому переборі та перевірці на оптимальність опорних планів. Початком такого ітераційного процесу завжди є побудова опорного плану.

Який же план транспортної задачі буде опорним? Перш ніж відповісти на це питання, ще раз розглянемо систему обмежень транспортної задачі. Вона складається з mn невідомих та m + n рівнянь, які пов’язані між собою співвідношенням (5.3). Якщо додати відповідно праві та ліві частини систем рівнянь (5.1) та (5.2), то отримаємо два однакових рівняння:

;

.

Наявність у системі обмежень двох однакових рівнянь свідчить про її лінійну залежність. Якщо одне з цих рівнянь відкинути, то в загальному випадку система обмежень буде містити m + n – 1 лінійно незалежне рівняння, отже, їх можна розв’язати відносно m + n – 1 базисних змінних. Ранг матриці системи обмежень також дорівнюватиме m + n – 1.

Опорним планом транспортної задачі будемо називати такий допустимий її план, що містить рівно m + n – 1 додатних ( ) компонент, а всі інші його компоненти дорівнюють нулю. Такий план є невиродженим. Якщо ж кількість базисних змінних менша, ніж m + n – 1, то матимемо вироджений опорний план. В такому випадку хоча б одна із основних змінних опорного плану транспортної задачі дорівнюватиме нулю.

Існує досить велика кількість методів пошуку початкових опорних планів транспортної задачі. Найбільш розповсюдженими являються методи північно-західного кута, найменшої вартості та апроксимації Фогеля.

1. Метод північно-західного кута

Ідея цього методу полягає в заповненні таблиці поставок починаючи з лівого верхнього (північно-західного) кута. У клітинку [1,1] записують поставку, яка дорівнює меншому з двох чисел а₁ та b₁, тобто або повністю вичерпують запаси першого пункту постачання, або ж повністю задовольняють потреби першого споживача. Далі переходять до наступної клітини в цьому ж рядку (якщо меншим виявилося число b₁) або у стовпчику (якщо число а₁) і заповнюють її, і т. д. Закінчують заповнення таблиці у правій нижній клітинці. У такий спосіб значення поставок будуть розташовані по діагоналі таблиці. Головна перевага методу північно-західного кута – простота розрахунків, а головний недолік – низька ефективність. Процес відшукання оптимального плану після початкового опорного, визначеного методом північно-західного кута, пов’язаний зі значним обсягом обчислювальних робіт, тому зазвичай його реалізують при використанні комп’ютерних програм.

2. Метод найменшої вартості (метод мінімального елемента)

Суть цього методу полягає в заповненні таблиці поставок починаючи з тієї клітинки, яка має найменший показник затрат на перевезення одиниці вантажу. Потім переходять до клітинки, яка має найменшу вартість серед всіх інших. Такі дії повторюють доти, доки не буде розподілено всю продукцію між постачальниками та споживачами. Перевагою методу найменшої вартості є те, що знайдений початковий опорний план є значно ближчим до оптимального (а інколи і відразу ж оптимальним); недоліком – дещо більша складність у порівнянні з методом північно-західного кута.

3. Метод апроксимації Фогеля

За цим методом на кожному кроці визначають різницю між двома найменшими вартостями в кожному рядку і стовпчику транспортної таблиці – штрафи за відсутність постачань продукції певним споживачам. Штрафні вартості записують у спеціально відведених місцях таблиці – знизу та справа у кілька рядків та стовпчиків, що відповідають крокам заповнення таблиці. З-поміж усіх штрафів вибирають найбільший і у відповідному рядку чи стовпчику заповнюють клітинку з найменшою вартістю. Якщо ж однакових найбільших штрафів кілька, то вибирають будь-який відповідний рядок або стовпчик. Коли залишається незаповненим лише один рядок або стовпчик, то обчислення штрафних вартостей припиняють, а таблицю продовжують заповнювати за методом мінімальної вартості.

Метод апроксимації Фогеля враховує не лише маршрути з мінімальними витратами перевезень продукції, але й співвідношення витрат у рядку чи стовпчику, тобто розраховується наскільки може збільшитися вартість постачання на наступних кроках пошуку оптимального плану перевезень, якщо не здійснити на поточному кроці постачання в клітину з мінімальною вартістю. Тому метод апроксимації Фогеля дає змогу скласти найкращий опорний план, особливо для задач великих розмірностей.

В потужному промисловому регіоні будуються п’ять нових споживачів електроенергії: В1, В2, В3, В4, В5, живлення яких може бути виконане від трьох електростанцій: Е1, Е2, Е3.

Розрахункові потужності і величина струму споживачів, відстань від електростанцій до споживачів, резервна потужність, яку мають в своєму розпорядженні електростанції, приведені в таблиці 5.2.

Побудувати початкові опорні плани розподілу електроенергії між споживачами за методами:

а) північно-західного кута;

б) найменшої вартості;

в) апроксимації Фогеля.

Затрати на передачу електроенергії вважати пропорційними добутку відстані на переданий струм від електростанції до споживача.

Таблиця 5.2

Характеристики електричної мережі

Показник	Резерв потужності електростанції, тис. кВт	Споживач
		В1	В2	В3	B4	B5
Планова потужність, тис. кВт		30	70	25	25	60
Електростанції		Відстані від електростанції до споживача, км
Е1	90	3	5	14	3	6
Е2	40	4	2	7	10	9
Е3	80	8	7	2	5	11

Розв’язок

а) метод північно-західного кута

Так як резерви потужностей першої електростанції Е₁ більші за потреби першого споживача В₁, то спочатку повністю задовольняємо потреби останнього: min (e₁; b₁)=min (90; 30)=30. В клітинку [1,1] таблиці 5.3 записуємо поставку електроенергії обсягом 30 тис. кВт.

Далі переходимо до задоволення потреб наступного (другого) споживача В₂. Їх обсяг b₂ = 70 тис. кВт, а на першій електростанції е₁ після задоволення потреб першого споживача залишається потужностей 90–30=60 тис. кВт. Тому задовольняємо частково потреби другого споживача (записуємо в клітинку [1,2] поставку обсягом 60 тис. кВт), при цьому потужності першої електростанції будуть вичерпані. Переходимо до використання потужностей другої електростанції е₂=40 тис. кВт. Її резервів вистачає для задоволення залишку потреб другого споживача обсягом 10 тис. кВт. Цю поставку і записуємо в клітинку [2,2].

Для задоволення потреб третього споживача b₃=25 тис. кВт використовуємо залишки потужностей другої електростанції е₂=40–10=30 тис. кВт: в клітинку [2,3] записуємо поставку 25 тис. кВт.

Для задоволення потреб четвертого споживача b₄=25 тис. кВт потужностей другої електростанції не вистачає: їх залишок складає 40–10–25=5 тис. кВт. Тому за рахунок електростанції Е₂ потреби пункту B₄ будуть задоволені лише частково: в клітинку [2,4] записуємо число 5. Потреби споживача b₄ залишились незадоволеними на 25–5=20 тис. кВт. Для їх задоволення скористаємося резервами останньої електростанції Е₃. В клітинку [3,4] записуємо число 20.

Переходимо до останнього споживача B₅. Його потреби повністю задовольняються за рахунок залишку резервів потужностей третьої електростанції: 80–20=60.

В побудованому опорному плані кількість заповнених клітинок дорівнює 7. Ранг матриці системи обмежень також дорівнює . Таким чином, початковий опорний план є невиродженим.

Таблиця 5.3

Електро-станції	Резерви потужнос-тей	Споживачі
		B1	B2	B3	B4	B5
		Потреби
		b1 = 30	b2 = 70	b3 = 25	b4 = 25	b5 = 60
Е1	е1 = 90	3 30	5 60	14	3	6
Е2	е2 = 40	4	2 10	7 25	10 5	9
Е3	е3 = 80	8	7	2	5 20	11 60

Зауваження. У випадку виродженості початкового опорного плану необхідно в якусь з порожніх клітинок записати нульову поставку так, щоб не порушити опорності плану (можна зайняти будь-яку порожню клітинку, яка не утворює замкненого циклу із заповненими клітинками).

Визначимо загальну вартість постачань електроенергії згідно з початковим опорним планом. Оскільки за умовою затрати на передачу електроенергії пропорційні відстаням на потужності струму, то потрібно обсяги переданої електроенергії перемножити на відстані до відповідних пунктів споживання:

(ум. од.).

б) метод найменшої вартості

Найменшу вартість мають постачання електроенергії, які здійснюються від електростанції Е₂ до споживача В₂ та від Е₃ до В₃ (затрати за умовою пропорційні відстані – 2 ум. од.). Розпочати заповнення таблиці постачань можна з будь-якої з клітинок [2,2] або [3,3] (див. табл. 5.4).

Дамо постачання в клітинку [2,2]. Оскільки споживач потребує 70 тис. кВт електроенергії, а постачальник має в резерві лише 40 тис. кВт, то в цю клітинку ми записуємо саме останню величину. Потужності електростанції Е₂ використані повністю.

Таблиця 5.4

Електро-станції	Резерви потужнос-тей	Споживачі
		B1	B2	B3	B4	B5
		Потреби
		b1 = 30	b2 = 70	b3 = 25	b4 = 25	b5 = 60
Е1	е1 = 90	3 30	5 30	14	3 25	6 5
Е2	е2 = 40	4	2 40	7	10	9
Е3	е3 = 80	8	7	2 25	5	11 55

Тепер заповнимо клітинку [3,3]. Потреби споживача B₃ складають 25 тис. кВт при резервах постачальника у 80 тис. кВт. Меншою є перша величина, її і записуємо в дану клітинку. Потреби споживача B₃ задоволені повністю.

З клітинок таблиці, що залишились незаповненими, вибираємо наступне мінімальне значення вартості постачань, яке дорівнює 3 ум. од. – клітинки [1,1] і [1,4]. Потужностей електростанції Е₁ (90 тис. кВт) вистачає для задоволення потреб і першого (b₁=30 тис. кВт), і четвертого (b₄=25 тис. кВт) споживачів. При цьому на першій електростанції залишається невикористаними ще 35 тис. кВт електроенергії.

Заповнення клітинки [2,1] неможливе, оскільки постачальник Е₂ вже повністю вичерпав власний обсяг запасів. Наступними є клітинки [1,2] і [3,4] з вартістю 5 ум. од. Заповнити ми можемо лише першу із них, адже потреби четвертого споживача задоволені повністю. Потреби другого споживача (b₂=70 тис. кВт) задоволені лише частково: йому надано 40 тис. кВт другою електростанцією. В клітинку [1,2] записуємо поставку обсягом 30 тис. кВт. Таким чином, другий споживач задоволений повністю, а тому відповідний стовпчик можна виключити з розгляду.

Знову вибираємо найменшу вартість для клітинок таблиці, що залишилися порожніми, і продовжуємо процес доти, поки всі резерви не будуть використаними, а потреби – задоволеними.

Побудований початковий опорний план є невиродженим.

Загальна вартість постачань електроенергії за початковим опорним планом:

(ум. од.).

в) метод апроксимації Фогеля

У табл. 5.5 навпроти кожного рядка і стовпчика записані штрафні вартості поставок, які знайдені як різниці між мінімальними значеннями вартості та наступними за ними по рівню. Максимальне значення такої різниці на першому кроці (див. перший додатковий рядок і перший додатковий стовпчик) відповідає третьому стовпчику і становить 5 ум. од. Даний показник означає, що у разі, коли не буде задоволена потреба третього споживача перевезенням продукції від третього постачальника за ціною 2 ум. од. за одиницю, то на наступних кроках вартість перевезення може бути на 5 ум. од. більшою. Отже, найдоцільніше на першому кроці заповнити клітинку [3,3]. Після цього потреби В₃ повністю задоволені, і всі клітини третього стовпчика виключаються з наступного розрахунку різниць по рядках і стовпцях.

На другому кроці максимальна штрафна вартість дорівнює 3 і відповідає другому і п’ятому стовпчикам, тому можна заповнювати будь-яку їх клітину з мінімальною вартістю, наприклад, [2,2]. Після цього з розгляду виключаються одразу всі клітини другого рядка, оскільки резерви потужностей електростанції Е₂ вичерпані.

На третьому кроці максимальна штрафна вартість дорівнює 5 ум. од. і цього разу відповідає одночасно і першому, і п’ятому стовпчику. Заповнюємо клітинку [1,1], як клітинку з найменшим значенням вартості, надавши їй обсяг постачання у розмірі 30 тис. кВт: при цьому споживач В₁ задоволений, а тому перший стовпчик ми виключаємо з подальшого розгляду.

На четвертому кроці максимальна штрафна вартість (5 ум. од.) дорівнює лише п’ятому стовпчику. Заповнимо клітинку [1,5], яка відповідає мінімальній вартості постачання для споживача В₅. Оскільки споживачу В₅ необхідно 60 тис. кВт електроенергії, а на першій електростанції залишилося у резерві якраз 90-30=60 тис. кВт, то ми повністю задовольняємо потреби В₅. Перший рядок і п’ятий стовпчик виключено з подальшого розгляду одночасно на одному кроці, тому кількість заповнених клітинок буде менша за ранг, а отже побудований план буде виродженим.

Таблиця 5.5

Електро-станції	Резерви потужнос-тей	Споживачі					Штрафні вартості (різниці по рядках)
		B1	B2	B3	B4	B5
		Потреби
		b1 = 30	b2 = 70	b3 = 25	b4 = 25	b5 = 60
Е1	е1 = 90	3 30	5	14	3	6 60	2	2	2	2
Е2	е2 = 40	4	2 40	7	10	9	2	2	–	–
Е3	е3 = 80	8	7 30	2 25	5 25	11	3	2	2	2
Штрафні вартості (різниці по стовпцях)		1	3	5	2	3
		1	3	–	2	3
		5	2	–	2	5
		–	2	–	2	5

Далі штрафні вартості не знаходимо, так як залишився нерозглянутий лише один рядок (відповідає електростанції Е₃). Поставки в третьому рядку розставляємо відповідно до незадоволених потреб споживачів В₂ (30 тис. кВт) та В₄ (25 тис. кВт).

Початковий опорний план складено. Він являється виродженим: кількість заповнених клітинок (6) менша за ранг матриці системи обмежень задачі (7).

Знайдемо загальну вартість постачань за початковим опорним планом:

(ум. од.).

Таким чином ми пересвідчились, що початковий опорний план, складений за методом апроксимації Фогеля є найкращим з-поміж усіх інших. У порівнянні з попереднім опорним планом, знайденим за методом найменших витрат, різниця складає 1080-915=165 (ум. од.).

Також ми пересвідчилися і в тому, що метод апроксимації Фогеля є одночасно і найбільш складним з-поміж усіх інших, адже потребує серії додаткових розрахунків, хоча і нескладних з математичної точки зору.