4.2. Економічна інтерпретація двоїстої задачі

Розглянемо двоїсту задачу з економічної точки зору. Нехай маємо звичайну задачу планування виробництва (див. § 1.4). Згадаємо, що в цій задачі необхідно визначити, яку кількість продукції кожного j-го виду необхідно виготовляти в процесі виробництва, щоб максимізувати загальний прибуток підприємства. Причому відомі: наявні обсяги ресурсів – ; норми витрат і-го виду ресурсу на виробництво одиниці j-го виду продукції – , а також – ціни реалізації одиниці j-ої продукції.

Припустимо, що за певних умов підприємству більш вигідно не виробляти продукцію, а продавати наявні ресурси. Щоб зробити це потрібно знати ціну кожного виду ресурсу. Кожному ресурсу поставимо у відповідність його оцінку . В економічній літературі їх часто називають об’єктивно обумовленими оцінками. Умовно вважатимемо, що – ціна одиниці і-го ресурсу. Загальна вартість ресурсів, що витрачаються на виробництво одиниці j-го виду продукції, обчислюється у такий спосіб: .

Продавати ресурси доцільно лише за умови, що виручка, отримана від їх продажу, перевищує суму, яку можна було б отримати від реалізації продукції, виготовленої за тих самих обсягів ресурсів, тобто: .

Зрозуміло, що покупці ресурсів прагнуть здійснити операцію якнайдешевше, отже, необхідно визначити мінімальні ціни одиниць кожного виду ресурсів, за яких їх продаж є доцільнішим, ніж виготовлення продукції. Загальну вартість ресурсів можна виразити формулою:

(4.6)

Таким чином, двоїсту задачу до задачі планування виробництва можна сформулювати наступним чином: визначити, які мінімальні ціни можна встановити для одиниці кожного і-го виду ресурсу, щоб продаж ресурсів був доцільнішим, ніж виробництво продукції.

4.3. Основні теореми двоїстості

Тісний зв’язок між прямою і двоїстою задачами виражений наступними теоремами двоїстості.

Наведемо без доведення три основні теореми двоїстості.

Перша теорема двоїстості. Якщо одна із задач лінійного програмування має скінченний оптимальний розв’язок, то і двоїста до неї задача теж має оптимальний розв’язок, причому оптимальні розв’язки обох задач співпадають: і навпаки .

Якщо ж цільова функція однієї із задач необмежена, то двоїста до неї задача не має розв’язків.

Зауваження. Зворотне твердження до другої частини цієї теореми в загальному випадку не виконується: якщо пряма задача не має допустимого розв’язку, то двоїста до неї задача також не має допустимого розв’язку.

Взагалі між розв’язками спряжених задач (тобто, прямої і двоїстої) крім рівності значень цільових функцій існує тісніший взаємозв’язок. Згадаємо, що для розв’язування задач симплексним методом необхідно звести їх до канонічної форми (див. § 2.4 і § 3.2). Для цього в системи обмежень прямої і двоїстої задач необхідно ввести відповідно m та n невід’ємних змінних. Поставимо обмеженням кожної задачі у відповідність змінні її двоїстої задачі:

Система обмежень прямої задачі
Система обмежень двоїстої задачі

Маємо таку відповідність між змінними:

Основні змінні прямої задачі						Додаткові змінні прямої задачі
х1	х2		хj		xn	xn + 1	xn + 2		xn + i		xn + m
↕	↕	…	↕	…	↕	↕	↕	…	↕	…	↕
ym + 1	ym + 2		ym + j		ym + n	y1	y2		yi		ym
Додаткові змінні двоїстої задачі						Основні змінні двоїстої задачі

Друга теорема двоїстості. Для того, щоб плани X^*=( ) та Y^*=( ) відповідно прямої та двоїстої задач були оптимальними, необхідно і достатньо, щоб виконувалися умови доповнюючої нежорсткості:

(4.7)

Дамо економічне тлумачення даній теоремі:

а) Стосовно оптимального плану Х^* прямої задачі.

Якщо для виготовлення продукції в тому обсязі, що визначається оптимальним планом Х^*, витрати і-го ресурсу строго менші, ніж його загальний обсяг , то відповідна оцінка такого ресурсу (компонента оптимального плану двоїстої задачі) буде дорівнювати нулю. Такий ресурс за даних умов виробництва не є «цінним». Якщо ж витрати ресурсу дорівнюють його наявному обсягові , тобто його використано повністю, то він є «цінним» для виробництва, і його оцінка буде строго більшою від нуля.

б) Стосовно оптимального плану Y^* двоїстої задачі.

Якщо витрати на виробництво одиниці j-го виду продукції перевищують її ціну с_j, виробництво такого виду продукції є недоцільним, і в оптимальному плані прямої задачі обсяг такої продукції дорівнює нулю. Якщо ж витрати на виробництво j-го виду продукції дорівнюють ціні одиниці продукції , то її необхідно виготовляти в обсязі, який визначає оптимальний план прямої задачі .

Третя теорема двоїстості. Компоненти оптимального плану двоїстої задачі дорівнюють значенням частинних похідних від цільової функції за відповідними аргументами :

(4.8)

Використовуючи третю теорему двоїстості, можна легко визначити вплив збільшення чи зменшення обсягів окремих ресурсів на зміну значення цільової функції: числові значення двоїстих оцінок показують, на яку величину змінюється цільова функція за зміни обсягу відповідного даній оцінці ресурсу .

Зауваження. Третя теорема двоїстості виконується лише при малих значеннях , тобто за таких значень приросту, які не змінюють значення двоїстих оцінок.

Використовуючи умову прикладу 4.1 та основні теореми двоїстості знайти оптимальний план прямої задачі шляхом розв’язання її двоїстої задачі.

Розв’язок

В прикладі 4.1 ми вже побудували двоїсту задачу, математична модель якої була такою:

Розв’яжемо цю задачу симплексним методом. Для цього спочатку зведемо систему обмежень до канонічного вигляду:

Етап 1. Крок 1.1. Основні змінні

Неосновні змінні

План Y₁={0, 0, 0, 0, –1, –4} – недопустимий.

Переводимо в основні змінну : в неосновні.

Крок 1.2. Основні змінні

Неосновні змінні

План Y₂={ , 0, 0, 0, , 0} – недопустимий.

Переводимо в основні змінну : в неосновні

Крок 1.3. Основні змінні

Неосновні змінні

План Y₃={ , , 0, 0, 0, 0} – допустимий.

Виражаємо цільову функцію:

Критерій оптимальності на мінімум виконується. На основі першої теореми двоїстості:

Оптимальним планом двоїстої задачі є план Y^*={ , , 0, 0, 0, 0}.

Випишемо коефіцієнти при змінних y_і ( ) у виразі лінійної форми двоїстої задачі:

y₁ = 0; y₂ = 0; y₃ = 19; y₄ = 12; y₅ = 9; y₆ = 1.

Знайдемо оптимальний план прямої задачі. Для цього запишемо відповідність між змінними прямої і двоїстої задачі:

х1	х2	х3	x4	x5	x6
↕	↕	↕	↕	↕	↕
y5	y6	y1	y2	y3	y4

Оптимальним планом прямої задачі є план Х^*={9, 1, 0, 0, 19, 12}.

Таким чином, ми пересвідчилися, що кожну з двох спряжених задач лінійного програмування можна розв’язати окремо, проте встановлені теоремами двоїстості залежності між оптимальними планами прямої та двоїстої задач уможливлюють знаходження розв’язку двоїстої задачі за наявності оптимального плану прямої, і навпаки.

ГЛАВА 5. ТРАНСПОРТНА ЗАДАЧА ЛІНІЙНОГО ПРОГРАМУВАННЯ

5.1. Економіко-математична модель транспортної задачі

5.2. Методи побудови початкового опорного плану транспортної задачі

5.3. Розв’язування закритої транспортної задачі методом потенціалів

5.4. Відкрита транспортна задача

5.1. Економіко-математична модель транспортної задачі

Транспортна задача є одним з найбільш важливих часткових випадків загальної задачі лінійного програмування.

Транспортна задача належить до типу розподільчих задач. Економічний зміст таких задач може стосуватися різноманітних проблем, які можуть бути зовсім не пов’язаними із перевезенням вантажів (наприклад, задачі оптимального розміщення виробництва).

Класична транспортна задача формулюється так: деякий однорідний продукт, що знаходиться у m постачальників А_і в обсягах одиниць необхідно перевезти n споживачам в обсягах одиниць. При цьому загальний наявний обсяг продукції у постачальників дорівнює загальному попиту всіх споживачів. Відомі вартості перевезень одиниці продукції від кожного А_і-го постачальника до кожного В_j-го споживача, що подані як елементи матриці виду:

Необхідно визначити такий план перевезень, за якого вся продукція була б вивезена від постачальників, повністю задоволені потреби споживачів і загальна вартість всіх перевезень була б мінімальною.

Найбільш зручно подавати транспортну задачу у вигляді таблиці:

Таблиця 5.1

Споживачі та їх потреби Постачальники та їх потужності		В1	В2	…	Bn
		b1	b2	...	bn
A1	a1	с11 х11	с12 х12	...	с1n х1n
A2	a2	с21 х21	с22 х22	...	с2n х2n
...	...	...	...	...	...
Am	am	сm1 хm1	сm2 хm2	...	сmn хmn

Позначимо через обсяг продукції, що перевозиться від -го постачальника до -го споживача. Далі значення величин будемо називати поставками.

У формалізованому вигляді умови класичної транспортної задачі мають такий вигляд:

1. сумарний обсяг продукції, що вивозиться з кожного і-го пункту, має дорівнювати запасу продукції в даному пункті:

або (5.1)

2. сумарний обсяг продукції, що ввезений кожному j-му споживачеві, має дорівнювати його потребам:

або (5.2)

3. сумарні запаси пунктів постачання дорівнюють сумарним потребам споживачів:

(5.3)

4. сумарна вартість всіх перевезень повинна бути мінімальною:

або (5.4)

Якщо умови виконуються (5.1) – (5.3), то транспортна задача є збалансованою або закритою. Якщо ж не виконується третя умова, то транспортна задача є незбалансованою або відкритою.

Оптимальним планом транспортної задачі є деяка матриця , яка задовольняє умови (5.1) – (5.3), і для якої цільова функція (5.4) набуває найменшого значення.