3.3. Частинні випадки розв’язування задач симплексним методом

Ми розглянули приклад з допустимим початковим базисним розв’язком, при якому система обмежень була сумісною (тобто, задача мала оптимальний розв’язок), а лінійна форма досягала єдиного та скінченного оптимального значення.

Розглянемо деякі частинні випадки, в яких вищезазначені умови порушуються.

Випадок 1. Початковий базисний розв’язок недопустимий

Якщо на першому етапі симплексного методу будь-яка зі змінних базисного розв’язку є від’ємною, то такий розв’язок недопустимий. В цьому випадку потрібно спочатку перейти до допустимого базисного розв’язку (деяку змінну переводять в основні, а деяку – в неосновні) і лише потім виражати цільову функцію. Слід зазначити, що перехід до допустимого базису не обов’язково відбувається за один крок.

З найти мінімум функції при обмеженнях:

Розв’язок

Система обмежень даної задачі подана в канонічній формі. Тому відразу ж переходимо до її розв’язування симплексним методом.

Етап 1. Крок 1.1. Основні змінні

Неосновні змінні

Отриманий розв’язок Х₁={0, 0, -1, 5, -6} – недопустимий (дві компоненти від’ємні).

Спробуємо перевести в основні змінну : в неосновні.

Крок 1.2. Основні змінні

Неосновні змінні

План Х₂={ , 0, 0, , - } – недопустимий (одна компонента від’ємна).

Переводимо змінну в основні: в неосновні.

Крок 1.3. Основні змінні

Неосновні змінні

План Х₃={ , , 0, , 0} – допустимий.

Виражаємо цільову функцію через неосновні змінні:

Оскільки у виразі цільової функції одна з неосновних змінних (змінна ) від’ємна, то критерій оптимальності на мінімум не виконується: в основні.

в неосновні.

Етап 2. Крок 2.1. Основні змінні

Неосновні змінні

План Х₄={2, 3, 0, 0, 5}.

Оскільки у виразі цільової функції всі неосновні змінні додатні, то критерій оптимальності на мінімум виконано: при плані {2, 3, 0, 0, 5}.

Випадок 2. Оптимальне значення цільової функції рівне нескінченності

Якщо на будь-якому кроці знаходження оптимального розв’язку виявиться, що в лінійну форму входить деяка додатна змінна , для якої відношення вільних членів до коефіцієнтів при цій змінній у всіх рівняннях системи рівне нескінченності ( ), то це означає, що змінну можна збільшувати як завгодно багато. При цьому , а оптимального плану не існує.

Знайти максимум функції при обмеженнях:

Розв’язок

Етап 1. Крок 1.1. Основні змінні

Неосновні змінні

План Х₁={0, 0, 9, 4} – допустимий. Значення цільової функції при даному плані дорівнює нулю. При та у виразі лінійної форми стоять однакові коефіцієнти (+1), тому в основні можна перевести будь-яку з цих змінних.

Переведемо в основні змінну : в неосновні.

Етап 2. Крок 2.1. Основні змінні

Неосновні змінні

План Х₂={4, 0, 25, 0}.

. Критерій оптимальності на максимум не виконується лише для змінної : в основні.

Отже, максимальне значення цільової функції – нескінченність. Оптимального плану не існує.

Випадок 3. Оптимальний розв’язок неєдиний

Якщо допустимий базисний розв’язок дає оптимальне значення лінійної форми, але у її виразі відсутня хоча б одна з неосновних змінних (позначимо її ), то це означає, що отриманий оптимальний розв’язок не єдиний. Для того, щоб знайти інший оптимальний розв’язок, потрібно перевести змінну в основні.

Знайти мінімум функції при обмеженнях:

Розв’язок

Етап 1. Крок 1.1. Основні змінні

Неосновні змінні

План Х₁={0, 0, 3, 13, 20} – допустимий. Значення цільової функції при цьому плані дорівнює нулю.

При змінній виразі лінійної форми стоїть менший коефіцієнт, ніж при змінній , тому в основні спочатку будемо переводити : в неосновні.

Етап 2. Крок 2.1. Основні змінні

Неосновні змінні

План Х₂={4, 0, 15, 9, 0}.

. Критерій оптимальності на мінімум виконується. при плані {4, 0, 15, 9, 0}. Проте у виразі лінійної форми відсутня одна з неосновних змінних (змінна ). Можна вважати, що вона входить у цільову функцію з нульовим коефіцієнтом, а тому і не збільшує, і не зменшує її значення.

Переведемо змінну в основні та знайдемо інший оптимальний план.

в неосновні.

Крок 2.2. Основні змінні

Неосновні змінні

План Х₃={3, 5, 7, 0, 0}.

Отже, іншим оптимальним планом є план {3, 5, 7, 0, 0}.

Випадок 4. Система обмежень несумісна

Якщо в отриманому базисному розв’язку існує деяка основна змінна , яка є від’ємною при будь-яких значеннях неосновних змінних , то це означає, що система обмежень несумісна, тобто дана задача не має допустимого базисного розв’язку. Очевидно, що така задача не може мати оптимального розв’язку.

Знайти максимум функції при обмеженнях:

Розв’язок

Етап 1. Крок 1.1. Основні змінні

Неосновні змінні

План Х₁={0, 0, -6, 11, -16} – недопустимий. Переведемо в основні змінну : в неосновні.

Крок 1.2. Основні змінні

Неосновні змінні

План Х₂={8, 0, -38, 3, 0} – недопустимий. При цьому змінна буде від’ємною при будь-яких додатних значеннях та . Умова для даної системи обмежень не виконується отже, вона є несумісною (не має жодного допустимого розв’язку).

Таким чином у даній главі було розглянуто два методи (графічний і симплексний) розв’язання задач лінійного програмування. Графічний метод для розв’язування більшості реальних задач практично не придатний, оскільки економіко-математична модель для його застосування мусить мати тільки дві змінні (два види діяльності, два види продукції тощо). Для того, щоб економіко-математична модель адекватно описувала реальні технологічні та економічні процеси вона повинна містити сотні і навіть тисячі змінних і обмежень. Для розв’язування таких задач використовується симплексний метод, із застосуванням якого теоретично можна дістати оптимальний розв’язок довільної лінійної економіко-математичної задачі. Звичайно, процес розв’язку симплексним методом „вручну” задачі, яка включатиме десятки змінних і/або обмежень буде дуже довгим і трудомістким, а у випадку сотень і тисяч змінних і/або обмежень практично неможливим. В цьому випадку потрібне використання засобів обчислювальної техніки. Зокрема, розв’язати задачу лінійного програмування можна в електронних таблицях Microsoft Excel (надбудова «Поиск решения»). Також існують спеціально написані програмні модулі, призначені для розв’язування розглянутих задач.

ГЛАВА 4. ДВОЇСТІСТЬ У ЛІНІЙНОМУ ПРОГРАМУВАННІ

4.1. Поняття та побудова двоїстої задачі

4.2. Економічна інтерпретація двоїстої задачі

4.3. Основні теореми двоїстості

4.1. Поняття та побудова двоїстої задачі

Будь-яка задача лінійного програмування дуже тісно пов’язана з іншою, так званою двоїстою задачею. При цьому зв’язок прямої (вихідної або початкової) та двоїстої задач є настільки сильним, що розв’язавши одну з них, можна відразу ж записати розв’язок іншої.

Двоїсті задачі можуть бути симетричними або несиметричними. У симетричних задачах всі обмеження прямої та двоїстої задач є лише нерівностями, а змінні обох задач можуть набувати лише невід’ємних значень. У несиметричних задачах деякі обмеження прямої задачі можуть бути рівняннями, тоді як двоїстої – лише нерівностями. У цьому разі відповідні рівнянням змінні двоїстої задачі можуть набувати будь-яких дійсних значень.

В подальшому ми будемо розглядати лише симетричні двоїсті задачі. Для побудови симетричної двоїстої задачі необхідно звести пряму задачу до стандартного вигляду. Вважають, що задача лінійного програмування подана у стандартному вигляді, якщо для знаходження максимального значення цільової функції всі нерівності її системи обмежень приведені до знаку « », а для задачі на знаходження мінімального значення – до знаку « ». Згадаємо з курсу лінійної алгебри, що для зміни знаку нерівності на протилежний необхідно помножити її на (–1).

Запишемо таку пряму задачу: знайти максимум лінійної форми

(4.1)

при обмеженнях:

(4.2)

Двоїстою до неї буде задача пошуку мінімуму лінійної форми

(4.3)

за умов:

(4.4)

Процес складання двоїстих задач зручно відобразити у вигляді схеми (рис. 4.1).

Рис. 4.1. Процес побудови двоїстої задачі

Якщо пряма задача лінійного програмування подана в стандартному вигляді, то двоїста задача утворюється за такими правилами:

1. Якщо цільова функція прямої задачі задається на пошук найбільшого значення (max), то цільова функція двоїстої задачі – на визначення найменшого значення (min), і навпаки.

2. Коефіцієнти біля змінних цільової функції двоїстої задачі є вільними членами системи обмежень прямої задачі, і навпаки.

3. Кожному обмеженню прямої задачі відповідає змінна двоїстої задачі. Кількість невідомих двоїстої задачі дорівнює кількості обмежень прямої задачі. І навпаки: кожній змінній прямої задачі відповідає обмеження двоїстої задачі, причому кількість обмежень двоїстої задачі дорівнює кількості невідомих прямої задачі.

5. Правими частинами системи обмежень двоїстої задачі є коефіцієнти при змінних у цільовій функції прямої задачі.

6. Матриця коефіцієнтів при змінних у системі обмежень двоїстої задачі є транспонованою по відношенню до матриці коефіцієнтів при у системі обмежень прямої задачі. Нагадаємо, що при транспонуванні матриці її рядки замінюються стовпчиками, а стовпчики – рядками:

(4.5)

7. В обох задачах присутня умова невід’ємності змінних.

С класти двоїсту задачу, якщо задана така пряма задача лінійного програмування: знайти максимальне значення функції при обмеженнях:

Розв’язок

Перш ніж записати двоїсту задачу, необхідно пряму задачу звести до стандартного вигляду. Оскільки цільова функція F максимізується і в системі обмежень є нерівності, то вони мусять мати знак « ». Тому перше і третє обмеження задачі помножимо на (–1). Після цього знак цих нерівностей зміниться на протилежний і система обмежень набуде такого вигляду:

Тепер за відомими правилами складемо двоїсту задачу: