Основные формулы Механика

Кинематическое уравнение движения материальной точки (центра масс твердого тела) вдоль оси х

x = f(t),

где f(t) – некоторая функция времени.

Скорость мгновенная

.

Проекция мгновенной скорости на ось х

.

Проекция средней скорости на ось х

.

Средняя путевая скорость

,

где Δs – путь, пройденный точкой за интервал времени Δt. Путь Δs, в отличие от разности координат Δх = х₂ – х₁, не может убывать и принимать отрицательные значения, т. е. Δs ≥ 0.

Ускорение мгновенное

.

Тангенциальное ускорение

.

Нормальное ускорение

.

Полное ускорение

, .

Кинематическое уравнение движения материальной точки по окружности

φ = f(t).

Модуль угловой скорости

.

Модуль углового ускорения

.

Связь между модулями линейных и угловых величин, характеризующих движение точки по окружности:

,

где υ – модуль линейной скорости; а_τ и а_n – модули тангенциального и нормального ускорений; ω – модуль угловой скорости; ε – модуль углового ускорения; R – радиус окружности.

Модуль полного ускорения

, или .

Импульс материальной точки массой m, движущейся со скоростью ,

.

Второй закон Ньютона (основное уравнение динамики поступательного движения)

или ,

где – результирующая сила, действующая на материальную точку.

Силы, рассматриваемые в механике:

а) сила упругости

,

где k – коэффициент упругости (в случае пружины – жесткость); х – абсолютная деформация;

б) сила тяжести

,

где – напряженность гравитационного поля (ускорение свободного падения);

в) сила гравитационного взаимодействия

,

где G – гравитационная постоянная; m₁ и m₂ – массы взаимодействующих тел; r – расстояние между телами (тела рассматриваются как материальные точки);

г) сила трения (скольжения)

F_тр = μN,

где μ – коэффициент трения; N – сила нормального давления.

Закон сохранения импульса для изолированной системы

,

или для двух тел (i = 2)

,

где и – скорости тел в момент времени, принятый за начальный; и – скорости тех же тел в момент времени, принятый за конечный.

Кинетическая энергия тела, движущегося поступательно,

Е_к = mυ²/2, или Е_к = р²/(2m).

Потенциальная энергия:

а) упругодеформированной пружины

Е_п = (kx²)/2,

где k – жесткость пружины; х – абсолютная деформация;

б) гравитационного взаимодействия

Е_п = –Gm₁m₂ /r,

где G – гравитационная постоянная; m₁ и m₂ – массы взаимодействующих тел; r – расстояние между ними (тела рассматриваются как материальные точки);

в) тела, находящегося в однородном поле силы тяжести,

Е_п = mgh,

где g – ускорение свободного падения; h – высота тела над уровнем, принятым за нулевой (формула справедлива при условии h << R, где R – радиус Земли).

Закон сохранения механической энергии

Е = Е_к + Е_п = const.

Работа силы F

.

Мгновенная мощность

.

Средняя мощность

.

Работа А, совершаемая результирующей силой, определяется как мера изменения кинетической энергии материальной точки:

А = ΔЕ_к = Е_к2 – Е_к1.

Момент инерции материальной точки

I = mr²,

где r – расстояние до оси вращения.

Момент инерции твердого тела

.

Моменты инерции некоторых тел массой m относительно оси, проходящей через центр масс:

а) стержня длиной l относительно оси, перпендикулярной стержню,

I = (ml²) /12;

б) обруча (тонкостенного цилиндра) радиусом R относительно оси, перпендикулярной плоскости обруча (совпадающей с осью цилиндра),

I = mR²;

в) диска радиусом R относительно оси, перпендикулярной плоскости диска,

I = (mR²) /2;

г) шара радиусом R

I = (2mR²) /5.

Момент инерции тела массой m относительно произвольной оси (теорема Штейнера)

I = I₀ + md²,

где I₀ – момент инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс; d – расстояние между осями.

Момент силы

.

Величина момента силы

M = Fr sin α,

где α – угол между .

Момент импульса твердого тела

.

Основное уравнение динамики вращательного движения

Закон сохранения момента импульса для изолированной системы

.

Работа при вращательном движении

.