Лекція 4. Сили в механіці

План

4.1. Сили пружності. Деформування твердих тіл. Закон Гука.

4.2. Сили тертя. Сили тертя ковзання та кочення.

4.3. Сили інерції. Неінерціальні системи відліку. Сили інерції при поступальному та обертальному русі систем відліку. Сила Коріоліса.

4.1. Деформування твердих тіл. Сили пружності. Закон Гука

Усі реальні тіла під дією зовнішніх сил змінюють свою форму і розміри, тобто деформуються.

Деформація – зміна форми та розмірів тіла під дією зовнішніх сил.

На попередньої лекції було введено поняття абсолютно твердого тіла, але у природі таких тіл не буває. Якщо після закінчення дії зовнішньої сили відновлюються попередні розміри та форми тіла, то таку деформацію називають пружною. Деформації які зберігаються у тілі після закінчення дії зовнішніх сил називаються пластичними (залишковими). Частинки твердого тіла зміщуються і при зміні їх взаємного розташування в тілі виникають внутрішні сили і деформоване тіло переходить у напружений стан. Деформації реальних тіл завжди пластичні, тобто після закінчення дії сили вони нікуди не зникають. Але, якщо залишкові деформації дуже малі, то ними знехтують. Ми будемо у подальшому розглядати лише пружні деформації.

Усі види пружних деформацій можуть бути зведені до трьох типів: розтягнення, стискання та зсув (див. рис.1).

Тип деформації залежить від характеру дії зовнішньої сили. Прийнято чисельно деформацію визначати не силою, а відношенням сили до одиниці площі поперечного перерізу поверхні , до якої ця сила прикладена.

Це відношення отримало назву механічної напруги :

, (1)

Якщо сила спрямована по нормалі до поверхні, то напруга називається нормальною, а якщо по дотичній - тангенціальною.

Зміна поперечних d та поздовжних розмірів L характеризуються абсолютною деформацією. Абсолютне видовження тіла L, або його стиск d залежить від його початкових розмірів, тому кількісною мірою, яка характеризує рівень деформації тіла, є його відносним видовженням, та відносним стиском.

Відношення абсолютної деформації до початкового розміру зразка отримало назву: відносна поперечна _ та відносна повздовжня _ деформації, які визначаються з виразу (2).

_ = L / L , _ = d / d , (2)

Деформації розтягнення і зсуву характеризуються зміною об’єму при незмінній формі тіла.

Розтягнення Стискання Зсув

Рис.1.

Розглянемо деформацію зсуву (див. рис.1), яка супроводжується зміною форми тіла без зміни його об’єму. Під дією тангенціальної напруги , прикладеної вздовж верхньої грані, тіло деформується на деякий кут зсуву . Кут зсуву прямо пропорційний тангенціальній напрузі, що викликала цей зсув:

, (3)

Пружні властивості твердих тіл характеризуються наступними показниками.

а) Динамічний модуль пружності (модуль Юнга) – коефіцієнт пропорційності між діючими повздовжніми напруженнями і викликаними ними подовжніми відносними деформаціями.

Якщо записати:

, (4)

де Е - модуль пружності (модуль Юнга).

З виразу (4) видно, що модуль Юнга за фізичним змістом є такою механічною напругою, яку необхідно прикласти до тіла, аби його відносна деформація стала рівною одиниці.

б) Коефіцієнт Пуассона – безрозмірний коефіцієнт пропорційності між відносними поперечними _ і відносними подовжніми деформаціями _.

.

Деформації _ і _ завжди мають різні знаки (при розтягу L додатне, а від’ємне, при стиску L від’ємне, а додатне), тому

 = - _ / _

Теоретичні значення коефіцієнта Пуасона, за винятком гуми, знаходяться у межах: 0 <  < 0,5. Знак "-" у формулі означає, що поперечна та поздовжня деформації завжди мають протилежний напрямок (див. рис.1).

в) Коефіцієнт пропорційності між тангенціальним напруженням і деформацією зсуву називається модулем зсуву G. , де G - модуль зсуву, Па. Модуль зсуву за фізичним змістом являє собою таку тангенціальну напругу, при якій кут зсуву дорівнював одному радіану.

Чисельні значення параметрів Е і G визначаються експериментально Між модулем зсуву, модулем Юнга і коефіцієнтом Пуассона існує певний зв'язок, який виражається наступним чином:

.

Рис.2.

Чисельні значення параметрів Е і G визначаються експериментально. У системі СІ механічна напруга, модулі пружності та зсуву вимірюються в паскалях: [, , Е, G] = [Н/м²] = [Па], кут зсуву - в радіанах [] = [рад.], абсолютна деформація - в метрах [L, d ] = [м], відносна деформація  це параметр без розміру.

Внутрішні сили, що чинять опір зовнішнім силам при деформуванні твердих тіл, отримали назву пружних сил.

Відповідно до третього закону Ньютона пружна сила F_пр завжди рівна за модулем та протилежна за напрямком значенню зовнішньої сили F_зов:

F_пр = - F_зов , (5)

Сили пружності виникають в усьому об'ємі тіла, що деформується, і не залежать від його розмірів.

Визначимо значення пружної сили F_пр :

,

і з урахуванням (5) отримаємо:

, (6)

де k = ES/L - коефіцієнт пружності твердого тіла , Н/м.

Коефіцієнт пружності суттєво залежить від геометричних розмірів тіла. Так, якщо довжину тіла зменшити у два рази, то його коефіцієнт пружності, згідно з виразом (3.6), збільшиться вдвічі.

Деформації твердих тіл підпорядковуються закону Гука до відомої межі. Зв’язок поміж деформацією та напруженням зображується у вигляді діаграми напружень (діаграми деформацій), яку ми якісно розглянемо для металевого зразка (рис. 2). З рис. видно, що лінійна залежність σ-ε, яка встановлена Гуком, виконується лише в дуже вузьких межах до так званої границі пропорційності . При подальшому зростанні напружень деформація залишається пружною, але після межі пружності вона стає необоротною пластичною. В кінці області текучості напруга зростає до межі міцності _мм , після досягнення якої тіло руйнується. Характер розвитку деформації залежить від властивостей конкретних матеріалів.