6.3. Метод исследования функций

Метод исследования функций относится к теоретической оптимизации, которая предполагает наличие математической модели процесса и ограничений, выраженных в виде уравнений или неравенств. Эти задачи (модели) решаются и исследуются при помощи математического программирования.

Математическое программирование представляет собой дисциплину, занимающуюся изучением экстремальных задач и разработкой методов их решения [8]. Задачи, разработанные данной дисциплиной, делятся на задачи линейного, нелинейного, стохастического и динамического программирования.

Задача линейного программирования заключается в изучении способов отыскания наибольшего и наименьшего значений линейной функции при наличии линейных ограничений. Однако в металлургии достаточно редки случаи процессов с линейными связями, поэтому рассмотрим простейшие случаи нелинейного программирования.

В основе нелинейного программирования лежат задачи отыскания экстремума без ограничений (классические задачи), которые решаются при помощи исследования функций на экстремум или канонических преобразований, и с ограничениями, решаемые при помощи методов Якоби, неопределенных множителей Лагранжа с ограничениями-равенствами и условий Куна-Таккера с ограничениями-неравенствами [9]. Наиболее сложные нелинейные задачи решаются градиентными методами, среди которых можно выделить методы Франка-Вулфа, когда исследуемые точки не выходят за пределы области допустимых решений, и Эрроу-Гурвица – в остальных случаях.

Для иллюстрации решения задач нелинейного программирования рассмотрим наиболее простой поиск оптимума на основе исследования функций без ограничений, когда экстремум находится внутри факторного пространства.

Экстремум параметра оптимизации известной нелинейной модели отыскивается путем определения частных производных по каждому фактору этой функции и приравнивания их к нулю:

 f / x₁ = 0;  f / x₂ = 0; …  f / x_k = 0. (6.1)

.Решается система уравнений относительно факторов х₁, х₂,…х_к, где величины последних и будут координатами стационарной точки. Чтобы определить, какой экстремум (максимум или минимум) находится в данной точке, необходимо найти полный дифференциал второго порядка d²f для данной точки, составить матрицу его квадратичной формы и решить её. Если его квадратичная форма отрицательно определена, то имеет место максимум, если положительно – минимум.

Вышеназванный метод определения вида экстремума достаточно сложен и не всегда определёнен, поэтому чаще всего пользуются более простым эмпирическим методом. Для этого координатам х₁, х₂, … х_к придают небольшие произвольные значения до и после найденных значений, просчитывают и сравнивают значения функции с оптимальным в стационарной точке. Если полученные значения меньше, чем в стационарной точке, то имеет место максимум, если больше – то минимум.

В том случае, когда стационарная точка выходит за рамки факторного пространства, то экстремум отыскивают на границах последнего. Если стационарная точка находится внутри факторного пространства, но в ней нет ни максимума, ни минимума, то экстремум ищут тоже на границе факторного пространства. Для этого значения функции на границах исследуют на экстремум или просчитывают с минимально возможным шагом и выбирают из них самые экстремальные. В этом случае точность нахождения экстремума зависит от величины шага факторов.

Приведём пример оптимизации математической модели загрузки, полученной ранее в разделе 5.3 (формула (5.10)):

_со = 43,5 + 0,917х₁ – 0,55х₂ – 1,11х₁² – 3,21х₂² – 0,325х₁х₂. (6.2)

Факторы, влияющие на использование газового потока, указаны в стандартных единицах: х₁= +1 (М = 30 т), - 1 (25 т); х₂ = + 1 ( = 100%), - 1 (50%).

Возьмём частные производные уравнения (6.2) по факторам и приравняем их к нулю:

  х₁ = 0,917 – 2,22х₁ – 0,325х₂ = 0;

  х₂ = - 0,55 – 6,42х₂ – 0,325х₁ = 0.

Решим систему уравнений относительно значений факторов х₁ и х₂ методом подстановки и получим х₁ = 0,431, х₂ = - 0,109. Это и есть координаты стационарной точки.

Определим вид экстремума, для чего возьмём вторые производные исходного уравнения:

 ²  х₁² = – 2,22; ∂²η / ∂х₂² = – 6,42; ∂²η / ∂х₁∂х₂ = – 0,325;

Матрица квадратичных форм отрицательно определена, значит в найденной точке, имеет место максимум функции.

Определим вид экстремума более простым методом. Рассчитаем величину использования газового потока в стационарной точке, для чего подставим полученные значения факторов в формулу (6.2):

_со  43,5 + 0,917_* 0,431 – 0,55_* (-0,109) – 1,11_* 0,431² –

- 3,21_* (-0,109)² – 0,325_* 0,431_* (-0,109) = 43,73%.

Подставим эту же формулу меньшие значения х₁ = 0,4 и х₂ = -0,2:

_со  43,5 + 0,917_* 0,4 – 0,55_* (-0,2) – 1,11_* 0,4² –

-3,21_* (-0,2)² – 0,325_* 0,4_* (-0,2) =43,69%,

и большие х₁ = 0,5; х₂ = -0,1:

_со  43,5 + 0,917_* 0,5 – 0,55_* (-0,1) – 1,11_* 0,5² –

-3,21_* (-0,1)2 – 0,325_* 0,5_* (-0,1) = 43,72%.

Сравниваем полученные значения со значением в стационарной точке и убеждаемся, что они меньше, значит в стационарной точке – максимум, который нам и нужен.

Переведём значения факторов в оптимальной точке в натуральные по формуле (5.1):

М = х₁J + M₀ = 0,431_* 2,5 + 27,5 = 28,58 т, округляем до 29 т.

А  х₂J + А_ = -0.109_* 25 + 75 = 72,3%, округляем до 75%.