5. Планирование активного эксперимента

5.1. Цели и задачи планирования эксперимента

Основная цель планирования исследований – получение максимум информации при минимально возможных затратах на экспериментирования. Планирование эксперимента позволяет определять методику, количество и порядок проведения опытов, а также решать следующие задачи:

• отсеивать малозначащие факторы при исследовании многофакторных процессов;

• описывать неизвестный процесс полиномом (математической моделью);

• систематизировать экспериментальный материал;

• отыскивать оптимум процесса или технологии.

Математическое планирование базируется на активном эксперименте, который позволяет рационально распределять опытные точки в факторном пространстве, обеспечив этим высокую надежность конечных результатов при сравнительно малом количестве опытов. Пассивное экспериментирование требует значительного увеличения количества опытов (в 2-5 раз), но даже в этом случае надежность конечных зависимостей не всегда бывает высокой из-за случайного и нерационального распределения опытных точек в факторном пространстве.

Факторное пространство – абстрактное пространство, по координатным осям которого откладываются значения функции (параметра) – ось ординат, соответствующие значениям изменяемых факторов – ось абсцисс.

5.2. Планы эксперимента.

Для проведения серии активных экспериментов для любых задач выбирают стандартный план.

Планом эксперимента называется фиксированная последовательность опытов с определенными уровнями факторов. Стандартные планы для любого количества факторов приведены в специальной литературе [1,3,4,7].

Уровень фактора – это фиксированное значение фактора в стандартных единицах: минимальное значение –1, максимальное +1, среднее 0 (иногда просто -, +, 0). Соотношение между натуральными и стандартными значениями факторов определяются следующей формулой:

x_i = (Н_i - Н_i0) / J, (5.1)

где x_i и Н_i – кодированные (+1, –1, 0) и натуральные значения факторов, Н_i0 – натуральное значение фактора на среднем (нулевом) уровне, J – интервал варьирования, равный полуразности максимального и минимального натуральных значений факторов.

Для получения линейной модели типа у = b₀ +  b_jx_j (линейная часть полинома (4.1а)) необходим полный факторный эксперимент (ПФЭ), в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов. Количество опытов в плане, основанном на ПФЭ,

N = u^k , (5.2)

где u – число уровней факторов, k – число факторов. Так как для получения линейной модели достаточно каждый фактор варьировать на двух уровнях (верхнем +1 и нижнем –1), то количество опытов в ПФЭ, согласно формуле (5.2), будет зависеть только от числа факторов k. Для двух факторов N = 2² = 4, для трёх N = 2³ = 8 и т.д. Вид плана формируется простым перечислением всех возможных сочетаний уровней факторов. Например, план полного двухфакторного эксперимента для получения линейной модели будет выглядеть следующим образом:

N x₁ x₂ y

1 –1 –1 y₁

2 + 1 –1 у₂ (5.3)

3 –1 +1 y₃

4 +1 +1 y₄

каждая строчка плана представляет собой условия опыта (+1, –1), а каждому опыту – своё значение параметра (функции у₁ – у₄). Полученный план реализуют – выполняют каждый опыт, соблюдая рандомизацию (случайность в выборе последовательности опытов) и получают параметры оптимизации, соответствующие каждому опыту.