§ 5. Трансформации аномалий как процесс частотной фильтрации

Цель различных способов трансформации гравитационных аномалий заключается в том, чтобы из суммарного гравитационного поля выделить аномалии интересующих нас при решении конкретной геологической задачи объектов. Другие составляющие гравитационного поля считаются помехами. Поэтому задачу трансформации гравитационных аномалий можно рассматривать как задачу выделения полезного сигнала на уровне помех. \

Все приведенные конкретные трансформации гравитационных аномалий могут быть представлены в виде общих интегральных выражений:

для трехмерной задачи

U_tr(x, y, z) = , (88)

для двухмерной задачи

U_tr(x, y, z) = , (89)

где U_tr(x, у, z) и U_tr(х, z) - трансформированные, U(ξ, η, 0) и U(ξ, 0) - исходные гравитационные аномалии; Р(ξ - x, η - у, z) P(ξ - х, z) - ядра интегральных преобразований соответственно для трехмерной и двухмерной задач, определяющие четкость выде­ления интересующих нас особенностей гравитационного поля.

Выражения (88) и (89), представляющие собой интегралы от произведения двух функций, называются интегралами свертки. В теории связи интегралами свертки описывается процесс частотной фильтрации сигналов. По аналогии задачу трансформации гравитационных аномалий можно рассматривать как процесс частотной фильтрации, а различные способы трансформаций уподоблять частот­ным фильтрам с соответствующими характеристиками. Можно поста­вить задачу нахождения оптимальной трансформации, при которой сохраняются все особенности полезного сигнала и существенно подавляются сигналы - помехи. Перед описанием частотной фильтра­ции гравитационных аномалий необходимо кратко остановиться на основных положениях частотного анализа.

Из курса математической физики известно, что

= . (90)

Тогда интеграл Пуассона для двухмерной задачи можно представить в виде

U(x, -z) = . (91)

Эта формула называется обобщенным интегралом Фурье. Полагая в ней z = 0, получаем интеграл Фурье

U(x, 0) = . (92)

который представляет непериодическую функцию U(х, 0) в виде бесконечного числа элементарных периодических функций, бесконечно близких по частоте ω.

Выражение (92) может быть записано в комплексной форме:

U(x, 0) = . (93)

Полагая

= S(ω), (94)

Получаем

U(x, 0) = . (95)

Функция S(ω)называется комплексным спектром преобразования Фурье функции U(х, 0):

S(ω) = A(ω) + iB(ω) = |S(ω)|e^iφ(α),

Отсюда

|S(ω)| =

- модуль или частотная характеристика спектра;

φ(α) = arctg

- аргумент или фазовая характеристика спектра.

В случае трехмерной задачи также можно получить интеграл Фурье. Воспользовавшись известным из курса математической физики соотношением

= , (96)

для интеграла Пуассона (13) в цилиндрических координатах получим

U(0, 0, -z) = , (97)

где J₀(ωr) - функция Бесселя первого рода нулевого порядка. Вводя среднее значение функции (г) на окружности радиусом r

(г) = ,

из формулы (97) получаем интеграл Фурье для трехмерной задачи:

U(0, 0, -z) = , (98)

при z = 0

U(0, 0, 0) = , (99)

Аналогично формуле (98) можно написать выражение интеграла Фурье для среднего значения функции (г_i) на окружности радиусом r_i

(г_i) = . (100)

Если обозначить

= S(ω), (101)

то формулы (99) и (101) примут вид

U(0, 0, -z) = ,

(г_i) = . (102)

Функция S(ω) (101) называется спектром преобразования Ханкеля функции U(г). Для исследования трансформаций гравитационного поля спектральное представление исходной и трансформи­рованной функций оказывается весьма удобным. Приведем основные свойства спектров.

1. Спектр S(ω) суммы функции равен сумме спек­тров S_i(ω) слагаемых:

S(ω) = . (103)

2. Спектр S_ξ(ω) функции U(х - ξ), смещенной относительно исходной функции U(х) на величину ξ, равен спектру исходной функции S(ω), умноженному на e^-iωξ:

S_ξ(ω) = e^-iωξ S(ω). (104)

3.Спектр S_n(ω) n-й производной функции U(х) равен спек­ тру S(ω) этой функции, умноженному на (iω)ⁿ:

S_n(ω) = (iω)ⁿ S(ω). (105)

4.Спектр S_z(ω) производной функции U(х) по параметру z равен производной спектра S(ω) исходной функции по тому же параметру z:

S_z(ω) = S(ω). (106)

5.Спектр S_tr(ω) функции U_tr(x), являющейся сверткой двух функций U(х - ξ) и Р (ξ), равен произведению спектров S(ω) и Ф(ω) этих функций:

S_tr(ω) = S(ω) Ф(ω), (107)

или

Ф(ω) =

Отношение спектров трансформированной и исходной функций Ф(ω) называется частотной характеристикой трансформации, функция Р(ξ) - переходной характеристикой. Функция Ф(ω) является спектром функции Р(ξ), характеризующей преобразование производимое над исходной функцией U(ξ - х).

Имея в виду, что выражение (88) может быть представлено в цилиндрических координатах формулой

U_tr(0, 0, z) = , (108)

где = - средневзвешенное по углу значение функции U на окружности радиусом r;

для трехмерной задачи получаем

Ф(ω) = , (109)

для двумерной задачи

Ф(ω) = = 2 . (110)

Подставляя в формулы (109) и (110) аналитические выражения Р(r) и Р (ξ, z) для различных трансформаций, получаем соответствующие частотные характеристики этих трансформаций, показывающие, какой частоты составляющие гравитационного поля выделяются, а какой подавляются. На рисунке и в таблице п pиведены частотные характеристики наиболее распространенных трансформаций гравитационных аномалий.

Осреднением и аналитическим продолжением аномалий в верхнее полупространство подавляются высокочастотные составляющие гравитационного поля, аналитическим продолжением в нижнее пoлупространство и вычислением высших производных эти составляющие усиливаются. Вычисление высших производных на высоте являете своеобразным полосовым фильтром, который подавляет как высокие так и низкие частоты, пропуская только частоты в определенном интервале, зависящем от порядка производной и от высоты h.

Практическое использование частотных характеристик осложняется двумя обстоятельствами: гравитационные аномалии всегда заданы в конечной области (на площади или по профилю) и не непре­рывно, а только в отдельных точках.

Частотные характеристики трансформаций

Трансформация	Частотная характеристика трансформации
Осреднение:
трехмерная задача	2J1(ωr)/sin r
двухмерная задача	sin ωr/(ωr)
Аналитическое продолжение:
в верхнее полупространство	e-ωh
в нижнее полупространство	eωh
Вычисление n – й вертикальной производной:
на плоскости наблюдения	ωn
на высоте h	ωn e-ωh
Вычисление n – й горизонтальной производной
на плоскости наблюдения	(iω)n
на высоте h	(iω)n e-ωh

При этих условиях интеграль­ные выражения (109) и (110) частотных характеристик транс­формаций принимают вид

Ф(ω)_∑ = = = , (111) Ф(ω)_∑ = 2 = 2 = 2

где

K_i = и K_i = - коэффициенты, зависящие от вида трансформаций.

Частотные характеристики, полученные по дискретным т очкам (см. рисунок), обладают свойством периодичности, исчезающей только при ∆r → 0 и ∆ξ → 0. Поэтому при построении вычислительных схем различных трансформаций следует так выбирать интервалы ∆r и ∆ξ и коэффициенты K_i, чтобы не подчеркивались нежелательные составляющие спектра трансформируемой функции. Практические формулы трансформаций выполняют роль полосовых фильтров ширина пропускания которых определяется коэффициентами K_i и радиусами r_i и ξ_i.

Выражения (111) можно использовать для определения коэффициентов K_i в различных вычислительных формулах трансформа­ций, исходя из условия

= min. (112)

Поскольку аналитическое выражение Ф(ω) для конкретного вида трансформации известно, то коэффициенты K_i вычисляют

при некоторых фиксированных значениях r_i или ξ_i и при ограниченном значении ω = ω_n, полагая, что частоты за пределами ω_n существенно не искажают результаты трансформации.

Важной задачей является оценка связи между выделенными при трансформация аномалиями и глубиной источников, вызывающих эти аномалии. Эту связь наиболее просто установить, изучив поведение аномалии единичной точечной массы, расположенной на глубине z, при различного рода трансформациях. По определению И. Г. Клушина величину этой аномалии М(z) можно рассматривать как глубинную характеристику трансформации:

M(z) = . (113)

Для нетрансформированной аномалии точечной массы Ф(ω)=1 и

M₀(z) = = . (114)

Если в формулу (113) подставить аналитические выражения частотной характеристики Ф(ω) из таблицы «Частотные характеристики трансформаций», то получим глубинные характеристики конкретных видов трансформаций. Поскольку в действительности используются не интегральные частотные характеристики Ф(ω), а дискретные Ф(ω)_∑, определяемые выражениям! (111), то заменяя в формуле (113) величину Ф(ω) ее приближенным значением Ф(ω)_∑, получаем глубинную характеристик различных формул трансформации

M(z) = = .

Составив отношение

N(z) = = , (115)

найдем так называемую относительную глубинную характеристику трансформации, позволяющую приближенно оценить интервал глу­бин, в котором располагаются источники выделенных аномалий, а также сопоставить различные вычислительные формулы.

Осреднение поля и аналитическое продолжение на высоту имеют качественно одинаковые относительные глубинные характеристики, в трансформированном поле основное отражение находят глубоко залегающие массы (см. рисунок). Однако пересчет н а высоту более суще­ственно влияет на аномалии глубоко залегающих объектов: даже при глубине, в 8 - 10 раз превышающей высоту пересчета, N(z) ≈ 0,8, в то время как при осреднении аномалий, начиная с глубины всего в 3 - 4 радиуса осреднения, N(z) ≈ 1. Качественное совпадение глубинных характеристик методов осреднения и пересчета на высоту позволяет найти приближенное соотношение радиуса осреднения R и высоты пересчета h, при котором получаются одинаковые резуль­таты, по И. Г. Клушину R ≈ (3,5 - 5)h. Иначе выглядят относи­тельные глубинные характеристики при вычислении производных исходной функции: здесь основное влияние на трансформированные аномалии оказывают неглубоко залегающие массы.

Можно найти такие формулы трансформации, которые позволяв выделять аномалии, связанные с источниками, расположенным в некотором интервале глубин, т. е. относительная глубинна характеристика таких, трансформаций имеет максимум на заданна глубине. В качестве примера приведем трансформацию Саксова -Нигарда:

U(0, 0, 0)_tr = , (116)

где (г₁) и (г₂) - средние значения функции U на окружности радиусами г₁ и г₂.

Эта трансформация, в сущности, представляет собой разность двух трансформаций, осуществляемых методом вариаций с разными радиусами, предложенными Б.А. Андреевым и Гриффином:

δU(0, 0, 0) = U(0, 0, 0) - (г).

Относительная глубинна характеристика трансформации (116) имеет вид (см. рисунок)

N(z) = ( - ). (117)

Введя обозначение r₁ = nr₂, найдем N(z) = N(z)_max при

. (118)

Эта формула используется для выбора рационального соотношения трансформации радиусами г₁ и г₂.

Оценки глубин, полученные по относительной глубинной характеристике, являются предельными, поскольку они предполагают резкое изменение плотности. В реальных условиях источники аномалий располагаются на несколько меньшей глубине.