§ 4. Вычисление высших производных потенциала

Выражение одних производных гравитационного потенциала через другие имеет весьма существенное значение при интерпретации гравитационных аномалий, поскольку в ряде случаев позволяет существенно упростить задачу определения параметров тела. Вычисление производных более высокого порядка, чем измеряемые широко применяется для разделения локальных и региональных аномалий. Сущность разделения таким способом состоит в сле­дующем.

Выражение потенциала на поверхности наблюдений для начала координат имеет вид

U(0, 0, 0) = kσ . (47)

Если размеры возмущающего тела увеличить в n раз и отодвину его от начала координат (точки наблюдения) в n раз дальше исходного тела, то ξ_n = nξ, η_n = nη, ζ_n = nζ и

U_n(0, 0, 0) = kσ = n²U, (48)

т. е. при таких условиях потенциал притяжения увеличился в n² раз. Найдем первую производную по z потенциала притяжения этих тел. Для первого тела имеем

U_z(0, 0, 0) = kσ ,

для второго

U_{z n}(0, 0, 0) = kσ = nU_z(0, 0, 0),

т. е. аномалия притяжения второго тела в n раз больше, чем первого Вычислив вторую вертикальную производную потенциала первого и второго тел, получим

U_{zz n}(0, 0, 0) = kσ = U_zz(0, 0, 0),

т. е. вторая производная потенциала первого и второго тел одинакова.

Третья вертикальная производная первого тела в n раз больше чем второго:

U_{zzz n}(0, 0, 0) = 3kσ = U_zzz(0, 0, 0),

В общем случае можно написать для m-й производной

U^(m)_n = n^2-mU^(m). (49)

Полученное соотношение верно не только для вертикальных, но и для любых горизонтальных и смешанных производных.

Таким образом, чем выше порядок производной, тем сильнее она отражает влияние небольших и неглубоко залегающих масс, влияние же крупных, но глубоко залегающих объектов мало сказывается на высоких производных, т. е. при вычислении высших производных подчеркиваются локальные аномалии и исключается или пода­вляется региональная составляющая аномального поля.

Формулы, устанавливающие связь между различными производными гравитационного потенциала на плоскости наблюдений и в верхнем полупространстве, могут быть получены на основе диф­ференцирования интеграла Пуассона (12), дающего реше­ние внешней задачи Дирихле для плоскости, или же интеграла,

P(B) =

определяющего решение задачи Неймана.

Запишем данный интеграл в декартовых координатах:

U(x, y, -z) = . (50)

Чтобы получить общую формулу производных m, n, р -го порядка гармонической функции по осям координат х, у, z, необходимо продифференцировать обе части выражения (50). В подынтегральном выражении от х, у, z зависит только [(ξ - x)² + (η - у)² + z²]^-1/2 - величина, обратная расстоянию между точкой, где опре­деляется значение, функции, и текущей точкой плоскости, на которой задана нормальная производная U_z(ξ, η, 0). Последняя от x, у и z не зависит, а является только функцией ξ и η. Получаем,

= . (51)

Это выражение является общим решением задачи определения, гармонической функции в пространстве по значениям ее нормальной производной, заданной на плоскости. Дифференцируя ядро подынтегральных функций (51) по соответствующим координатам, получаем конкретные формулы, связывающие различные производ­ные гравитационного потенциала. На практике удобнее пользоваться, вертикальной цилиндрической системой координат г, α, z.Приведем некоторые из формул для вычисления различных производных: гармонической функции:

U(0, 0, -z) = ,

U_x(0, 0, -z) = , (52)

U_y(0, 0, -z) = , (53)

U_xx(0, 0, -z) = , (54)

U_yy(0, 0, -z) = , (55)

U_∆(0, 0, -z) = - , (56)

U_zz(0, 0, -z) = , (57)

U_xz(0, 0, -z) = , (58)

U_yz(0, 0, -z) = , (59)

2U_xy(0, 0, -z) = , (60)

U_zz(0, 0, -z) = , (61)

В случае двумерного поля интеграл, дающий решение задачи Неймана, получим, проинтегрировав выражение (50) по η в пределах ± ∞:

U(x, -z) = , (62)

тогда = . (63)

Отсюда дифференцированием находим

U_x(0, -z) = , (64)

U_z(0, -z) = - , (65)

U_zz(0, -z) = -U_xx(0, -z) = U_∆(0, -z) = , (66)

U_xz(0, -z) = , (67)

Прежде чем рассматривать способы вычисления полученных интегралов, необходимо отметить следующее. Целый ряд интегралов [(58), (59), (67)] не позволяют вычислить производные на плоскости наблюдений, так как при z = 0 подынтегральное выражение обращается в нуль. Значения этих производных могут быть вычислены на основе интегральных формул только на некоторой высоте над плоскостью наблюдений.

Интегралы (52) - (57), (60), (61), (64), (65) при z = 0 являются несобственными и сходятся только при определен­ном характере изменения функции U, так как при r → 0 (или ξ → 0) подынтегральная функция стремится к бесконечности. Чтобы избежать этого, в указанных интегралах будем рассматривать вместо U(г, α, 0) разность U(г, α, 0) - U(0, 0, 0), где U(0, 0, 0) - значение исходной производной в начале координат. Можно показать, что такая замена не влияет на величину исходного интеграла. На­пример, для интеграла (52) при z = 0 имеем

= 0

тогда

U_x(0, 0, 0) =

Можно показать справедливость такой замены и для других интегралов. Подобная замена в подынтегральных выражениях приводит к тому, что теперь при r или ξ, стремящихся к нулю, подын­тегральное выражение обращается в неопределенность, которая может быть раскрыта. В общем случае порядок стремления раз­ности U_z(г, α, 0) — U_z(0, 0, 0) к нулю должен быть не ниже, чем порядок стремления к нулю r или ξ. Например, если в формуле (57) для вычисления U_zz положить

U_z(r, α, 0) – U_z(0, 0, 0) = cr²,

где с - некоторая постоянная, то

= c,

и интеграл имеет конечное значение.

Для приближенного вычисления рассмотренных интегралов в слу­чае трехмерной задачи всю площадь интегрирования разбивают кон­центрическими окружностями и лучами на площадки. Можно счи­тать, что внутри каждой площадки функция U(г, α, 0) или ее производные, входящие в подынтегральные выражения, остаются постоянными, т. е. интеграл представляется в виде суммы

,

где K_ik - некоторые постоянные коэффициенты.

Естественно, что для интегралов, которые при r = 0 расходятся, разбивку на площадки можно начинать только с некоторого ра­диуса r₀. Влияние центральной зоны 0 - г₀ учитывают поправками, вычисленными при определенных предположениях о характере изменения функции в окрестностях точки (0,0,0). Величиной интег­рала за пределами радиуса г_n, как правило, пренебрегают или также вносят соответствующие поправки.

Не останавливаясь на выводе вычислительных формул, приведем в качестве примера палетки и формулы для определения вертикаль­ной составляющей градиента потенциала притяжения U_z(0,0,0) на плоскости наблюдений по значениям функции U(г, α, 0). Исход­ной служит формула (57), из нее получаем

U_z(0, 0, 0) = = , (68)

где

= - среднее значение U(г, α, 0) на окружности радиусом r.

В палетке К. Ф. Тяпкина вся область интегрирования разбита на площадки равного действия (рис а). Вычислительная фор­мула имеет вид

U_z(0, 0, 0) = + , (69)

где

δU_ik = U_ik - U(0, 0, 0).

Постоянных коэффициентов в формуле два: во внутреннем круге 0,5, во внешнем 0,05. Величина r₀ играет роль единицы измерения, принятой при построении палетки и выраженной в масштабе карты, с которой снимаются отсчеты, и может быть любой. Приведем ра­диусы центров площадок равного действия в единицах r₀:

r₁ = 0.31, r₆ = l.37, r₁₁ = 3.63,

r₂ = 0.36, r₇ = 2.11, r₁₂ = 4.45,

r₃ = 0.45, r₈ = 3.35, r₁₃ = 5.70,

r₄ = 0.57, r₉ = 2.68, r₁₄ = 8.00,

r₅ = 0.80, r₁₀ = 3.08.

В палетке А. К. Маловичко (см. рис. б) концентрические окружности проведены через равные интервалы так, что r₂ – r₁ = r₃ - r₂ = . . . = r₁ = 1. Вычислительная формула, реализуемая с помощью этой палетки, имеет вид

U_z(0, 0, 0) = + , (70)

где U(r_i) - среднее значение U на окружности радиусом r_i.

Коэффициенты K_i равны: К₁ = 0,250, K₂ = 0,333, K₃ = 0,125, К₄ = 0,067, ,K₅ = 0,042.

Коэффициенты палетки К. Е. Веселова

ri/r0	Kir0	ri/r0	Kir0	ri/r0	Kir0
0,1	2,5	2,735	0,160	10,190	0,029
0,2	7,5	4,123	0,094	13,564	0,021
0,566	1,25	5,831	0,053	18,559	0,017
1,058	0,536	7,736	0,033	21.8	0,046
1,755	0,260

Радиусы и соответствующие им коэффициенты палетки К. Е. Ве­селова (см. рис. в) представлены в таблице.

Здесь к₀ также равно единице измерения, принятой при постро­ении палетки. Если первые два радиуса (0,1 и 0,2) заменить одним, то вместо первых двух строк будет: r_i/r₀ = 0,4, K_ir₀ = 10,0.

Вычислительная формула, реализуемая палеткой, имеет вид

U_z(0, 0, 0) = . (71)

В двухмерной задаче формула (66) вертикальной составляющей градиента потенциала притяжения при z = 0 примет вид

U_z(0, 0, 0) =

Из сравнения этого выражения с формулой (68) следует, что в двухмерном случае коэффициенты линейной палетки в π раз меньше соответствующих коэффициентов палеток для трехмерной задачи, расстояние же узлов линейной палетки от центральной точки равно радиусам трехмерной палетки. Поэтому соотношения, выведенные для трехмерной задачи, можно использовать для построения линей­ных палеток.

В практике интерпретации часто возникает необходимость вычислить горизонтальные производные по заданному распределению вертикальной или, наоборот, по распределению горизонтальной производной требуется найти распределение вертикальной. По­строим палетку для такого пересчета в случае двухмерной задачи. Исходными служат интегралы (64) и (65), но будем рассматри­вать только формулу (64), так как выражение (65) имеет то же ядро и отличается только знаком. Поскольку эти интегралы при ξ = 0 становятся несобственными, вычисление их проведем следующим образом:

U_x(0, 0) = = = + , (71)

где (-∆ξ, ∆ξ) – малый интервал, в пределах которого можно положить

U_z(ξ, 0) = U_z(0, 0) + ξ(U_zx)₀,

U_z(0, 0) - значение U_z(ξ, 0) в точке (0, 0).

Тогда

= + = ∆U_z,

т. е. первый интеграл выражения (71) равен приращению ∆U_z в интервале (-∆ξ, ∆ξ|).

Остальные два интеграла разобьем на ряд частных интегралов, в пределах интегрирования которых будем считать значение U_z(ξ, 0) постоянным и равным среднему внутри интервала интегрирования, так что

= U_zi(ξ, 0)ln = K_iU_zi(ξ, 0).

Вычислительная формула принимает вид

U_x(0, 0) = ∆U_z + ( - ). (72)

Для построения палетки примем ∆ξ = 1 и К_i = 0,1π, тогда

= e^0.134 = 1.368,

т. е. расстояния ξ_i от начала координат составляют геометрическую прогрессию, знаменатель которой равен 1,368: 1; 1,37; 1,87; 2,56; 3,51; 4,80; 6,57; 8,93; 12,3; 16,8; 23,0. Палетку строят на прозрачном м атериале, величину ∆ξ выбирают в зависимости от градиента кривой, обычно ∆ξ = 0,5 или 1 см. Чем меньше интер­вал, тем выше точность палетки.

Как уже отмечалось, некоторые производные, которые широко используются при интерпретации гравитационных аномалий, не могут быть вычислены на поверхности наблюдений с по­мощью интегральных формул, в частности, U_xz и U_zzz по U_z.

В этом случае для вычисления производных могут быть исполь­зованы формулы, получающиеся дифференцированием различных интерполяционных формул. В зависимости от способа численного дифференцирования и от исходных формул можно составить различные вычислительные формулы. Рассмотрим метод получения таких формул.

Пусть функция U(х) задана на некотором отрезке через равные интервалы r так, что значения ее аргумента х располагаются посредине интервалов

…x – 3r, x – 2r, x – r, x, x + r, x + 2r, x + 3r, …

Разности предыдущего и последующего значений функции U(х) называются первыми разностями ∆₁U(х), разности последующих и предыдущих первых разностей называются вторыми разностями ∆₁U(х), и т. д. (см. таблицу).

Порядок разности обозначается индексом при ∆, аргументом разности является полусумма аргументов функций, из которых составлена разность.

Конечные разности можно выразить через значения функции

∆₁U(x – 0.5r) = U(x – r) – U(x),

∆₁U(x + 0.5r) = U(x ) – U(x+r),

∆₂U(x ) = U(x – r) – 2U(x) + U(x + r),

∆₃U(x – 0.5 ) = U(x – 2r) – 3U(x - r) + 3U(x) - U(x + r), (73)

∆₃U(x + 0.5 ) = U(x – r) – 3U(x) + 3U(x + r) - U(x +2 r),

∆₄U(x ) = U(x – 2r) – 4U(x - r) + 6U(x) - 4U(x + r) + U(x + 2r),

∆₆U(x ) = U(x – 3r) – 6U(x - 2r) + 15U(x - r) - 20U(x) + 15U(x + r) – 6U(x + 2r) + U(x + 3r).

Аргумент	Функция			Разности
		∆1U	∆2U	∆3U	∆4U	∆5U
x - 3r	U(x – 3r)
		∆1U(x-5/2r)
x - 2r	U(x – 2r)		∆2U(x-2r)
		∆1U(x-3/2r)		∆3U(x-3/2r)
x - r	U(x – r)		∆2U(x-r)		∆4U(x-r)
		∆1U(x-1/2r)		∆3U(x-1/2r)		∆4U(x-1/2r)
x	U(x )		∆2U(x)		∆4U(x)
		∆1U(x+1/2r)		∆3U(x+1/2r)		∆4U(x+1/2r)
x + r	U(x + r)		∆2U(x+r)		∆4U(x+r)
		∆1U(x+3/2r)		∆3U(x+3/2r)
x + 2r	U(x + 2r)		∆2U(x+2r)
		∆1U(x+5/2r)
x + 3r	U(x + 3r)

Будем считать, что среднее арифметическое разностей нечетного порядка, расположенных симметрично относительно середины интер­вала, равно их значению, приведенному к середине интервала, т. е.

∆₁U(x) = = , (74)

∆₃U(x) = = ,

Функция U(х_k) может быть представлена через конечные разности ∆_kU (х) интерполяционной формулой Стирлинга:

U(x_k) = U(x + kr) = U(x) = ∆₁U(x) + ∆₂U(x) + ∆₃U(x) + ∆₄U(x) + ∆₅U(x) + ….. (75)

Собирая в формуле (75) члены с одинаковыми степенями k и сравнивая полученное выражение с разложением функции U(х_k) в ряд Тейлора по степеням kr, получаем

U(x_k) = U(x + kr) = U(x) + + + + ….= U(x) + (∆₁U(x) - ∆₃U(x) + ∆₅U(x) - ∆₇U(x) + …) +

(∆₂U(x) - ∆₄U(x) + ∆₆U(x) - ∆₈U(x) + …) +

(∆₃U(x) - ∆₅U(x) + ∆₇U(x) + …) + (76)

(∆₄U(x) - ∆₆U(x) + …) + (∆₅U(x) - ∆₇U(x) + …).

Откуда следует

= (∆₁U(x) - ∆₃U(x) + ∆₅U(x) - …),

= (∆₂U(x) - ∆₄U(x) + ∆₆U(x) - …). (77)

С учетом разностей третьего порядка, положив х = 0, получим

= - . (78)

Если разности третьего порядка не учитывать, то

= . (79)

Для второй производной с учетом разностей второго и четвертого порядка имеем

= (U(-r) - 2U(0) + U(r)) . (80)

= ( (U(-r) + U(r)) - U(0) - ( U(-2r) + U(2r))).

Формулы (78) - (80) слу­жат исходными для вывода це­лого ряда формул, позволяющих определять вторую вертикальную производную гармонической функ­ции по распределению этой функ­ции на плоскости. Действительно, из уравнения Лапласа получаем

= -( + ). (81)

Для второй производной по у можно написать формулы, анало­гичные уравнениям (80). Тогда в простейшем случае

= -( + ) = (4U(0) - U(-r)_x - U(r)_x - U(-r)_y - U(r)_y) = (U(0) - (r)), (82)

где (r) - среднее значение функции U на окружности радиусом r, о пределенное по четырем точкам (см. рисунок).

Располагая точки в углах квадрата, описанного около окруж­ности, получаем формулу М. У. Сагитова:

= (U(0) - U(r )). (83)

Ограничиваясь в уравнениях (80) разностями четвертого порядка, из формулы (81) находим

= (5U(0) + (U(r)_x + U(r)_y + U(-r)_x + U(-r)_y) - (U(2r)_x + U(2r)_y + U(-2r)_x + U(-2r)_y)), (84)

Введя средние значения функции на окружностях радиусами r и 2r, получим формулу А. К. Маловичко:

= (5U(0) - (r) + (2r)). (85)

Поскольку формулы (82) - (85) определяют вторую вертикальную производную, то очевидно, что любая их линейная ком­бинация также определяет эту производную, общий вид таких

Формул

= (A₀U(0) + A₁ (r₁) + A₂ (2r₂) + …+ A_n), (86)

где

= 0.

В таблице приведены некоторые из формул для вычисления , применяемые на практике.

Авторы	Формула
Л.В. Канторович, В. Милн, В.И. Крылов.	= (20U(0) - 16 (r) - 4 (r ))
Д.Ю. Панов	= (4U(0) + 4 (r) - 8 (r ))
Р. Гендерсон, И. Зитц.	= (3U(0) - 4 (r) - (r ))
Л.П. Жоголев.	= (3U(0) - 2 (r) - (r ))

В случае двухмерной задачи, имея в виду, что U_zz = -U_xx, из формул (83), (85) получаем

= (15U(0) - 16 (r) + (2r)),

= (U(0) - (r)), (87)

где (г) и (2г) - среднее значение U на концах r и 2r интервалов.

Точность определения второй производной по формулам, приведенным в таблице, и по другим, им подобным, зависит от при­ближенности самой формулы и от погрешности исходных данных.

Влияние погрешности исходных данных ориентировочно можно оценить по формуле

= ,

где и - средние квадратические ошибки определения U_z и (r); A_i - коэффициенты формулы (86).

Оценить погрешность, возникающую из-за приближенности формул, трудно, поскольку эта погрешность зависит от того, насколько величина шага r соответствует характеру исходного поля. В общем случае точность вычислений возрастает при уменьшении r. Однако с уменьшением r растет влияние погрешностей исходных данных, поэтому при вычислении второй вертикальной производной надо стремиться подобрать оптимальный размер шага r, при котором приближенность формулы достаточно точная, а влияние погрешности исходных данных не очень велико. При этих условиях суммарная погрешность вычисленных значений будет минимальной. Следует отметить, что при соответствующем подборе r вычисления по любой из вышеприведенных формул дают близкие результаты.

Чрезмерное увеличение шага r резко уменьшает погрешности исходных данных, но одновременно увеличивает погрешности из-за приближенности формул, и в конечном итоге вычисленное значение U_zz будет не реальной второй производной, а некоторой величиной, похожей на нее.