§ 3. Аналитическое продолжение аномалий как гармонических функций

Если потенциал или его производные заданы в некоторой области, не занятой притягивающими фесами, то они могут быть определены во всем пространстве, в том числе и внутри притягивающих масс, за исключением особых точек, т. е. точек, где потенциал и его произ­водные теряют свои гармонические свойства. Определение гармонической функции U(х, у, z) в области ее существования по значениям, заданным в некоторой более узкой области, называется аналитическим продолжением функции U(х, у, z). В рассматри­ваемом случае под гармонической функцией U(х, у, z) понимается гравитационный потенциал и его любые производные.

Аналитическое продолжение гравитационных аномалий широко применяется в практике интерпретации не только для разделения гравитационных аномалий разных порядков, но и для количествен­ной оценки параметров возмущающих объектов. Этот метод применяется для количественной оценки аномалиеобразующих факторов. Обратимся к использованию аналити­ческого продолжения как средства разделения гравитационных аномалий.

Сущность разделения гравитационных аномалий при их аналити­ческом продолжении состоит в том, что с увеличением расстояния от источников аномалий последние убывают по разному в зависи­мости от глубины и размеров источника: аномалии мелких, неглубоко залегающих объектов убывают быстрее, чем аномалии объектов более крупных и более глубоких. Американский геофизик Пирсон назвал аналитическое продолжение гравитационных аномалий «гравиметрическим фокусированием», поскольку с приближением к возмущающему объекту в аномальном поле начинают подчерки­ваться детали, которые на большом расстоянии от объекта были незаметны, и наоборот, при удалении от объекта сохраняется только общая картина поля, детали же исчезают. Такое поведение гравитационного поля является как бы результатом действия оптической линзы: изображение исследуемого объекта фокусируется, а изобра­жение объектов, более удаленных, размазывается, получается нечетким.

Пусть имеются два шара: один на глубине h массой М, другой на глубине nh и массой n³М. Аномалии силы тяжести над центрами этих шаров

U_z1(0, 0, 0) = kM ,

U_z2(0, 0, 0) = kn³M = kM ,

т. е. аномалия первого шара в n раз меньше аномалии второго шара.

Если аномалии этих шаров аналитически продолжить на высоту Н = h, то

U_z1(0, 0, -H) = ,

U_z2(0, 0, -H) = .

и тогда

= > n (10)

Из неравенства (10) следует, что при аналитическом продолжении гравитационных аномалий в верхнее полупространство ано­малии неглубоко залегающих сконцентрированных масс убывают сильнее, чем аномалии более глубоко залегающих источников, тем самым подчеркивается влияние региональных аномалий и ослаб­ляется влияние локальных.

При аналитическом продолжении аномалий этих шаров в нижнее полупространство на глубину Н = 0.5h соответственно получим

U_z1(0, 0, H) = ,

U_z2(0, 0, H) = ,

в этом случае

= < n (11)

при n >1.

Таким образом, при продолжении аномалий в нижнее полупро­странство региональная аномалия U_z2 возрастает медленнее, чем локальная U_zl, т. е. локальная аномалия выделяется в общем гра­витационном поле рельефнее.

Рассмотрим способы аналитического продолжения гравитацион­ных аномалий в верхнее и нижнее полупространство.

Если гармоническая функция задана на сфере или плоскости, то задача ее определения во внешнем пространстве решается интегра­лом Пуассона. Способы аналитического продолжения гармонических функций различаются только приемами вычисления этого интеграла. Приведем некоторые схемы численного определения интеграла Пуассона, когда исходная функция задана на плоскости.

В прямоугольной системе координат, когда ось z направлена вниз, интеграл Пуассона имеет вид

U(x, y, -z) = , (12)

где U(х, у, -z) - значение гармонической функции в точке (х, у, -z); U(ξ, η, 0) - значение гармонической функции в точках пло­скости хОу.

В вертикальной цилиндрической системе координат r, α, z с на­чалом в точке, являющейся проекцией точки вычислений на плоскость хОу, интеграл Пуассона принимает вид

U(x, y, -z) = , (13)

Интегрируя выражение (12) по η, получаем интеграл Пуассона для двухмерной задачи

U(x, -z) = .

Для точки с координатами (0, -h) на высоте h

U(x, -h) = . (14)

Для вычисления интеграла (14) введем новую переменную

φ = arctg , dφ = .

Тогда выражение (14) принимает вид

U(x, -h) = . (15)

т. е. значение U(x, -h) определяется как интегральное среднее U(φ, 0) по углу видимости φ.

По формуле (15) рассчитывают палетки для вычисления U(0, -h), описанные Б. А. Андреевым. Из точки (0, -h), для кото­рой определяют аналитически продолженное значение, проводят систему лучей через равные углы ∆φ = π/n, где n - доста­точно большое число, получают

U(0, -h) ≈ ,

где - среднее значение функции на i-м интервале, который виден из точки (0, -h) под углом ∆φ и ограничен точками пересечения лучей с осью х.

Полученная таким образом палетка может быть использована для пересчета поля на любой уровень без предварительной перестройки кривой U(ξ, 0). Высота пересчета определяется расстоянием точки (0, -h) до оси х в единицах горизонтального масштаба кривой. Находить средние значения внутри интервалов значительно проще, если при некоторой фиксированной высоте пeресчета через точки пересечена лучей с осью х провести вертикальные линии, а лучи, исходящие из точки (0, -h), убрать. Однако в этом случае палетка пригодна для пересчет поля только на один фиксированный уровень, обычно 5 см в масштабе чертежа. Для пересчета того же графика на другой уровень необходимо изменить горизонтальный масштаб пересчитываемой кривой так, чтобы в 5 см горизонтальной масштаба укладывалась высота пересчета.

Более удобна для массовых; расчетов палетка, предложенная В. Н. Страховым, идея построения которой состоит в следующем. Интеграл (14) можно записать в виде

U(0, -h) = , (16)

где ξ_h = , K(ξ_h, 0) = .

Интеграл (16) представим в виде ряда частных интегралов в конечных пределах и остаточных членов, которыми мож­но пренебречь. Каждый из частных интегралов вычислим при помощи квадратурных формул Гаусса, которые при заданном числе ординат явля­ются наиболее точными. Тогда вычислительная формула примет вид

U(0, -h) = = , (17)

где A_i - коэффициенты гауссовых квадратурных формул; ξ_hi - узлы этих формул; ∆ξ_hi - длины соответствующих интервалов интегрирования.

В таблице приведены значения величин, необходимых для построения палетки по формуле (17).

Коэффициенты палетки В. Н. Страхова (пересчет вверх)

i	ξhi	Ci	mi = 1/Ci	i	ξhi	Ci	mi =1/Ci 1/Ci
0	0	1,136	0,88	4	4366	0,075	13,3
1	1,077	0,424	2,36	5	6,057	0,065	15,4
2	1,812	0,110	9,09	6	8,943	0,030	33,3
3	2,634	0,189	5,29	7	12,5	0.032	31,4

Палетка В. Н. Страхова представляет собой систему вертикальных линий, проведенных через точки гауссовых абсцисс и имеющих равномерные шкалы, масштабные множители которых определяются из соотношения m_i = 1/C_i. Если за единицу измерения ординат кривой U(ξ_hi, 0) принят 1 мм, то на i-й шкале этой единице соответствует отрезок длиной m_i. Расстояние h (т. е. ξ_hi = 1) удобно выбрать равным 1 см.

Используют палетку следующим образом. Кривую U(ξ, 0) вычерчивают в соответствующем горизонтальном масштабе (h = 1 с м). Вертикальный масштаб кривой не играет особой роли, но жела­тельно, чтобы кривая U(ξ, 0) имела максимальную амплитуду 10 - 15 см в масштабе графика. Проекцию точки, для которой вычисляют U (0, -h) совмещают с началом О палетки. По каждой шкале сни­мают отсчет и эти отсчеты суммируют. Сумма отсчетов, деленная на π, равна значению U (0, -h) в миллиметрах ординат кривой. Палетка В. Н. Страхова при том же числе ординат имеет большую точность, чем палетка Б. А. Андреева. Кроме того, процесс вычислений несколько быстрее и не так утомителен, как снятие средних значений внутри интервалов.

В случае трехмерной задачи интеграл Пуассона (13) удобно вычислять в вертикальной цилиндрической системе координат (r, α, z):

U(0, 0, -h) = . (18)

Формулы для подсчета U(0, 0, -h) получают, разбивая интеграл (18) на ряд частных интегралов в конечных, пределах

и остаточный член, которым обычно пренебрегают. В этом случае выражение (18) принимает вид

U(0, 0, -h) = . (19)

где - среднее значение U(г, α, 0) в пределах площадки интегрирования.

Существующие способы аналитического продолжения трехмерных полей в верхнее полупространство различаются приемами вычисле­ния частных интегралов и выбором пределов интегрирования. При вычислении выражения (19) всю область интегрирования можно разбить на площадки равного действия, тогда пределы интегрирова­ния меняются нелинейно, и их приходится выбирать по определен­ному закону. Можно установить пределы интегрирования, подчинив их наперед заданному закону. В этом случае область интегрирования разбивается на площадки, вклад которых в суммарный интеграл неодинаков.

По первому принципу построена палетка Н. Р. Малкина. Выпол­няя интегрирование в формуле (19), получаем

U(0, 0, -h) = ).

Полагая

α_i+1 – α₁ = и - = ,

имеем U(0, 0, -h) = .

Чтобы построить палетку, из начала координат проводят лучи через угол 2π/n = 2π /10 и концентрические окружности, радиусы которых r_k находят из соотношения

- = = 0.1. (20)

Положив в этой формуле h = 1, получим радиусы окружностей: 0,48; 0,75; 1,02; 1,33; 1,73; 2,28; 3,17; 4,91; 9,8. Таким образом, лучами и окружностями вся площадь разбивается на 100 площадок. По каждой из площадок определяют среднее значение и вы­числяют 0,0l , соответствующее значению U (0, 0, -h) на высоте, равной 1 см в масштабе карты. При вычислении U (0, 0, -h) на ином уровне необходимо изменить радиусы окружностей про­порционально высоте пересчета.

Рассмотрим вывод формулы для построения палетки на основе второго принципа, когда радиусы окружностей представляются наперед заданными величинами. Введем среднее на окружности радиусом r значение величины U(r, α, 0):

= .

Тогда интеграл Пуассона можно представить в виде равенства

U (0, 0, -h) = . (21) Разбивая, как и прежде, общий интервал интегрирования на отдельные частные интервалы и применяя на каждом из них теорему о среднем, получаем

U (0, 0, -h) = + + …(22)

После интегрирования имеем

U (0, 0, -h)= (1- )+ (1- ) + ( - ) … (23)

или

U (0, 0, -h) = K₀ + K₁ + …. = , (24)

где

K_i = ( - ) . (25)

Задавая различные радиусы, по соотношению (25) можно вычислить коэффициенты K_i. В палетке А. К. Маловичко принято r₁ = r₂ – r₁ = r₃ — r₂ = h. Коэффициенты этой палетки приведены в таблице, а вычислительная формула имеет вид

U (0, 0, -h) = U(r₆) + .

Коэффициенты палетки А. К. Маловичко

ri	Ki	ri	Ki
0 1 2	0,1464 0.2764 0,1954	3 4 5	0.1024 0,0600 0,0390

Для вывода среднего на окружности значения обычно ис­пользуют восемь равномерно расположенных на ней точек. Используя выражение (25), можно построить палетки и с другим законом изменения радиусов окружностей.

Аналитическое продолжение гармонических функций в нижнее полупространство, в область, где отсутствуют особые точки этих функций, представляет собой значительно более сложную задачу, чем аналитическое продолжение вверх. Принципиальная сложность аналитического продолжения в нижнее полупространство состоит в неустойчивости этой задачи, т. е. малому изменению значений заданной на плоскости функции могут соответствовать большие изменения ее значений, рассчитан­ных на глубине.

Существует довольно много спо­собов аналитического продолже­ния вниз, основанных на различ­ных принципах и неодинаковых по сложности вычислений. Оста­новимся на некоторых из них, наиболее простых.

Несложные вычислительные формулы можно получить, исходя из теоремы Гаусса о среднем значении гармонической функции. Применительно к условиям двухмерной задачи значение гармони­ческой функции в центре окружности равно интегральному среднему ее значений, взятых по окружности:

U(0, 0) = . (26)

Заменяя интегрирование суммированием и ограничиваясь четырьмя точками на окружности, получаем

U(0, h) = 4U(0, 0) –(U(0, -h) + U(-h, 0) + U(h, 0)) (27)

О чевидно, что для использования этой формулы предварительно нужно любым из рассмотренных способов определить U(0, -h).

В случае трехмерной задачи интегральное среднее по поверхности сферы заменяют средним арифметическим из шести точек на поверхности: четырех на экваторе, плоскость которого совпадает с плоскостью хОу [U(-h, 0, 0), U(0, -h, 0), U(0, h, 0), U(h, 0, 0)], и двух на полюсах [U (0, 0, h), U (0, 0, -h)].

Тогда

U(0, 0, 0) = = [U(-h, 0, 0) + U(h, 0, 0) + U(0, -h, 0) + U(0, h, 0)] + U (0, 0, -h) + U (0, 0, h)]. (28)

Обозначим

= [U(-h, 0, 0) + U(h, 0, 0) + U(0, -h, 0) + U(0, h, 0)]

- среднее значение функции на окружности радиусом r - h.

Искомое значение функции на глубине:

U(0, 0, h) = 6U(0, 0, 0) - 4 - U(0, 0, -h). (29)

Формулы (27) и (29) составляют основу так называемого метода сеток.

При вычислении по методу сеток в случае двухмерной задачи вертикальную плоскость разбивают горизонтальными и вертикальными линиями на квадраты со стороной, равной наименьшей глубине пересчета. В вершинах квадратов, расположенных на уровне h = 0, выписывают наблюденные значения функции U(ξ, 0), а в вершинах, расположенных выше уровня наблюдений, - значения U(0, -h), определенные одним из вышерассмотренных способов. По формуле (27) вычисляют значение U (0, h). Подобным образом можно опре­делить значение U на глубинах 2h, 3h и т. д.

Вычислительные формулы для аналитического продолжения гар­монических функций в нижнее полупространство можно получить и другим путем. Выразим интеграл Пуассона для значений U(0, 0), заданных на поверхности, через искомую функцию U(ξ, h) на глу­бине h:

U(0, 0) = . (30)

Неизвестная нам функция U(ξ, h) находится под знаком интеграла, поэтому задача сводится к решению интегрального уравнения. Это решение можно получить методом последовательных приближений. Если под интегралом (30) вместо U(ξ, h) рассмотреть U(ξ,0), то найдем значение функции U(0, -h) на высоте h. Тогда, вычислив разность

∆₁U = U(0, 0) – U(0, -h)

и положив, что она остается постоянной с изменением h, можно в первом приближении написать

U(0, h) = U(0, 0) - ∆₁U

или

U(0, h) = 2U(0, 0) – U(0, -h).

Вычислив значение функции на высоте -2h, найдем вторую разность ∆₂U, как разность между первыми разностями в интервалах (0, -h) и (-h, -2h), и второе приближение

U(0, h) = U(0, 0) + ∆₁U + ∆₂U

или

U(0, h) = 3U(0, 0) – 3U(0, -h) + U(0, -2h).

Продолжая этот процесс и ограничиваясь разностями n-го порядка, получаем приближенную формулу

U(0, h) = , (31)

где биномиальные коэффициенты

= .

Заменив в уравнении (31) функции U(0, -kh) их выраже­ниями через интеграл Пуассона и выделив первый член суммы,

Получим

U(0, h) = (n + 1)U(0, 0) + . (32)

Каждый из интегралов этого уравнения можно представить в виде суммы таких интегралов, что в интервале интегрирования функ­цию U(ξ, 0) можно считать постоянной и равной ее среднему зна­чению в этом интервале. Тогда уравнение (32) можно записать в виде

U(0, h) = (n+1)U(0, 0) + , (33)

где

K_i = = (arctg - arctg ). (34)

На основе формул (33) и (34) можно построить палетку для определения функции U(0, h). В. Н. Страховым предложена удобная палетка для вычисления поля в нижнем полупространстве

в случае двухмерной задачи. С учетом третьего приближения (n = 3) формула (33) примет вид

U(0, h) = 4U(0, 0) - 6U(0, -h) +4U(0, -2h) – U(0, -3h) (35)

или

U(0, h) = 4U(0, 0) - , (36)

где

= 6U(0, -h) -4U(0, -2h) + U(0, -3h). (37)

Используя интеграл Пуассона (14), имеем

= = , (38)

где

K(ξ_h) = - + , ξ_h = .

Интеграл (38) разбивается на ряд частных интегралов, каждый из которых вычисляется при помощи квадратурных формул Гаусса. Пренебрегая влиянием удаленных зон, окончательную вычислительную формулу можно представить в виде

= ( ) = , (39)

где A_i - коэффициенты гауссовых квадратурных формул; ξ_hi - узлы этих формул; ∆ξ_hi - длины соответствующих интервалов интегрирования.

Значения ξ_hi и С_i необходимые для построения палетки, приведены в таблице.

Коэффициенты палетки В. Н. Страхова (пересчет вниз)

i	ξhi	Ci	mi = 1/Ci	i	ξhi	Ci	mi = 1/Ci
0	0	1,5680	0,637	4	4,366	0,0279	35,8
1	1.077	0,4030	2,48	5	6,057	0,0209	47,8
2	1,812	0,0824	12,8	6	8,943	0,0102	98,4
3	2,634	0,1020	9,84	7	12,113	0,0115	87,2
				8	17,887	0,0044	225,0

Палетка представляет собой систему вертикальных линий, вос­становленных в узлах гауссовых формул и имеющих равномерные шкалы, масштабные множители которых определяются из, соотно­шения m_i = 1/C_i. Палетку вычерчивают в масштабе h = 1 см и на­кладывают на график U(ξ, 0), совмещая проекцию точки, в которой вычисляют U(0, h), с центром палетки. Сумма отсчетов ординат по шкалам определяет в миллиметрах чертежа кривой. Значе­ние U(0, h) вычисляют по формуле (36).

Подобные формулы можно вывести и для расчетов поля в нижнем полупространстве в случае трехмерной задачи, если в выражении (31) использовать значения функции U(0, -kh), вычисленные при помощи интеграла Пуассона для трехмерной области. Повторив все вышеприведенные рассуждения, получим формулу для вычисле­ния функции U(0, 0, h) в нижнем полупространстве по ее значе­ниям, заданным на поверхности наблюдений:

U(0, 0, h) = (n+1)U(0, 0, 0) +

или

U(0, 0, h) = (n+1)U(0, 0, 0) + ,

где

K_i = ( - ).

На основе этих формул можно построить палетки.

Формулы для аналитического продолжения в нижнее полупространство можно получить разложением функции U в ряд Тейлора. Для точек (0, -h) и (0, +h), находящихся соответственно в верхнем и нижнем полупространстве, разложения принимают вид

U(0, -h) = U(0) - + - ……,

U(0, h) = U(0) + + - ……. (40)

Складывая эти выражения, получаем ряд из четных производных:

U(0, -h) + U(0, h) = 2(U(0) + + + … (41)

Разность этих выражений дает ряд из нечетных производных:

U(0, h) - U(0, -h) = 2( + + … (42)

Четные производные на поверхности наблюдений определяют методом конечных разностей, а нечетные - с помощью интегральных формул. В частности, для двухмерной задачи, имея в виду, что U_zz = -U_xx и U_zzzz = U_xxxx, из формулы (41) получаем

U(0, h) +U(0, -h) = 2(U(0) - U_xx + U_xxxx) (43)

и, выражая U_xx и U_xxxx через конечные разности, находим

U(0, h) +U(0, -h) = 5.5U(0, 0) – 2.034(U(h, 0) + U(-h, 0)) + 0.316(U(2h, 0) + U(-2h, 0)) – 0.025(U(3h, 0) + U(-3h, 0)). (44)

Сходная по структуре формула получена С. В. Шалаевым

U(0, h) +U(0, -h) = 6.665U(0, 0) – 3.015(U(h, 0) + U(-h, 0)) + 0.8935(U(2h, 0) + U(-2h, 0)) – 0.2710(U(3h, 0) + U(-3h, 0)) + 0.07818(U(4h, 0) + U(-4h, 0)) - 0.02104(U(5h, 0) + U(-5h, 0)) + 0.04921(U(6h, 0) + U(-6h, 0)) - 0.0009929(U(7h, 0) + U(-7h, 0)). (45)

И, наконец, не останавливаясь на выводе, приводим формулу В. Н. Страхова, в которой используются значения функции U только на поверхности наблюдений:

U(0, h) = 7.3029U(0, 0) – 2.3258(U(0.5h, 0) + U(-0.5h, 0)) - 0.5683(U(h, 0) + U(-h, 0)) – 0.1931(U(2h, 0) + U(-2h, 0)) + 0.0178(U(3h, 0) + U(-3h, 0)) - 0.0411(U(6h, 0) + U(-6h, 0)) - 0.0030(U(9h, 0) + U(-9h, 0)) (46)