§ 9. Решение прямой и обратной задач для горизонтальной материальной полосы и горизонтального тонкого пласта.

Тонкие горизонтально залегающие пласты можно уподобить материальной горизонтальной полосе с поверхностной плотностью μ= σdζ.

П усть на глубине h имеется горизонтальная материальная полоса шириной 2d с поверхностной плотностью μ. Начало координат расположим над серединой полосы и обозначим через Θ угол зрения, под которым видна полоса из точки наблюдения. Тогда на основании формул

U_x(x, z) = 2kσ , U_z(x, z) = 2kσ ,

U_y(x, z) = 0, U_xz(x, z) = 4kσ ,

U_zz(x, z) = U_∆(x, z) = 2kσ ,

U_yz = U_xy = 0, где r =

можно записать

U_z(x, 0) = ∆g(x, 0) = 2kμ = 2kμ(arctg - arctg ) = 2kμ(φ₂ – φ₁) = 2kμΘ,

U_xz(x, 0) = 4kμh = -2kμh( - ),

U_zz(x, 0) = 2kμ = 2kμ( - ).

Из формулы для U_z следует, что сила тяжести всюду положительна и при x = 0 имеет максимум. Обозначив через Ф угол зре­ния, под которым видна полоса из начала координат, получим

U_{z max} = 2kμФ = 4kμarctg , где Ф = 2arctg .

Найдем абсциссы x_1/2 и x_1/4, где U_z соответственно равно U_{z max}/2 и U_{z max}/4.

arctg - arctg = arctg ,

arctg - arctg = arctg ,

откуда

x_1/2 = ,

x²_1/4 = (h²+d²) ±2h ,

h = ,

2d = 2 ,

μ = .

Величины 2d и h можно найти графически без вычислений по данным формулам. Из точек х_1/2 и x_1/4 полоса видна под углами соответственно Ф/2 и Ф/4. Если из начала координат, как из центра, провести окружность радиусом, равным х_1/2, то концы горизонтальной полосы будут лежать на этой окружности, а сама о кружность будет геометрическим местом точек, из которых горизонтальная полоса видна под углом Ф/2. Далее, если принять самую верхнюю точку Р окружности за центр и из него провести новую окружность с радиусом, равным расстоянию от точки Р до точки x_1/4, то эта окружность будет геометрическим местом точек, из которых полоса видна под углом Ф/4. Точки пересечения этих двух окружностей определяют положение полосы.

Анализ формулы, определяющей значение U_xz, показы­вает, что U_xz > 0 при х < 0 и U_xz < 0 при х > 0. При х = 0 и х = ± ∞ функция U_xz = 0. Кривая U_xz имеет экстремальные значения при

x_{max, min} = .

Параметры тонкой горизонтальной полосы определяются в общем случае громоздкими формулами. Решение задачи существенно упро­щается, если положить, что глубина залегания полосы значительно меньше ее ширины, т. е. d >> h. Тогда, разлагая выражение для x_{max, min} по степеням отношения h/d, получаем x_{max, min} = ±d. Имея это в виду, составляем уравнение U_xz(x_1/2) = U_{xz max}/2, решая которое находим

H = .

Функция U_zz положительна при |х| < , а при |x| > функция U_zz < 0 и имеет минимум при

x_min =

При х = 0

U_zz(0, 0) = .

При условии d > h функция U_zz достигает максимума в точках

x_max =

расположенных почти над краями горизонтальной полосы. При х = х₀ = и при х = ±∞ значение U_zz = 0. Параметры горизонтальной полосы по кривой U_zz можно найти, используя точки х₀, x_min и х = 0, которые дают необходимые уравнения

h = , d = , μ = .