§ 7. Решение прямой и обратной задач для горизонтального материального стержня и горизонтального кругового цилиндра.

Горизонтальному круговому цилиндру можно уподобить геологические структуры и тела, размеры которых по простиранию значи­тельно больше, чем вкрест простирания. Это антиклинальные и синкли­нальные складки, линзообразные рудные залежи и др.

Гравитационное действие горизонтального цилиндра бесконеч­ного простирания эквивалентно действию материального стержня, расположенного на оси цилиндра и имеющего то же распределение массы на единицу длины цилиндра. Формулы, выражающие гравита­ционное действие горизонтального бесконечного цилиндра имеют вид:

U_z(0, 0) = ∆g(0, 0) = 2kλ ,

U_xz(0, 0) = 4kλ , (*)

U_∆(0, 0) = U_zz(0, 0) = 2kλ ,

U_xy(0, 0) = U_yz(0, 0) = 0,

где λ - линейная плотность единицы длины материального стержня h - глубина стержня.

Эти формулы выражают также и действие бесконечного горизон­тального кругового цилиндра. В этом случае под λ необходимо по­нимать произведение объемной избыточной плотности цилиндра на площадь его поперечного сечения:

λ = πR²σ,

где R - радиус цилиндра.

В природе все реальные геологические тела имеют конечные раз­меры по простиранию. В практике интерпретации делают допущение о бесконечном простирании тел. Поэтому, прежде чем заниматься анализом этих формул для бесконечного горизонтального стержня, необходимо оценить, при каких параметрах тела можно делать допу­щение о его бесконечном простирании.

Удобнее всего вывести эти условия, сравнив гравитационное дей­ствие конечного и бесконечного по простиранию материальных стержней.

Найдем формулы для горизонтального стержня конечного простирания. Пусть имеется материальный стержень длиной 2b, с ли­нейной плотностью λ, симметрично расположенный относительно плоскости Oxz. Тогда формулы для точки в начале координат будут иметь вид:

U_z(0, 0, 0) = kλζ = kλζI_{1 ,}

U_xz(0, 0, 0) = 3kλξζ = 3kλξζI₂ ,

U_zz(0, 0, 0) = kλ = kλ(3ζ²I₂ - I₁ ),

U∆(0, 0, 0) = 3kλ = 3kλ(I₁ - (2ξ² + ζ²)I₂ ),

где I₁ = = ,

I₂ = = .

Cчитая ζ = h, получаем выражения для стержня конечной длины в виде:

U_z(0, 0, 0) = 2kλ f₁(b),

U_xz(0, 0, 0) = 2kλ (3f₁(b) – f₂(b)), (**)

U_zz(0, 0, 0) = 2kλ ((2h²- ξ²)f₁(b) – h²f₂(b)),

U_∆(0, 0, 0) = 2kλ (-3 ξ²f₁(b) + (2ξ² + h²)f₂(b)),

где f₁(b) = , f₂(b) = .

При b = ±∞ значения f₁(b) = f₂(b) = 1, и последние формулы переходят в формулы:

U_z(0, 0) = ∆0) = 2kλ ,

U_xz(0, 0) = 4kλ ,

U_∆(0, 0) = U_zz(0, 0) = 2kλ ,

U_xy(0, 0) = U_yz(0, 0) = 0.

Для оценки расхождений в значениях U_z, U_xz, U_zz, U_∆ при замене стержня конечной длины бесконечно длинным введем следу­ющие величины:

ε_z = 1 - , ε_xz = 1 - , ε_zz = 1 - , ε_∆ = 1 - .

Индексом b обозначены величины, относящиеся к конечному стержню, индексом ∞ - к бесконечному. Обозначив

= = ρ_b, получим

f₁(b) = (1 + ρ_b²)^-1/2,

f₂(b) = (1 + ρ_b²)^-3/2.

В области наибольшей интенсивности аномалий можно положить ρ_b < 1, тогда левые части данных равенств можно представить раз­ложенными в ряд:

f₁(b) = 1 - ρ_b² + ρ_b⁴ - …….,

f₂(b) = 1 - ρ_b³ + ρ_b⁴ - …….,

Ограничиваясь в разложении членами с ρ_b⁴ и учитывая формулы (*), (**), получаем

ε_z = ρ_b² - ρ_b⁴,

ε_xz = ρ_b⁴, (***)

ε_zz = 1 - ((2h²- ξ²)f₁(b) – h²f₂(b)),

ε_∆ = 1 - (-3 ξ²f₁(b) + (2ξ² + h²)f₂(b)).

Из этих формул следует, что погрешности за не бесконечность простирания для функций U_z и U_xz имеют постоянные значения, а для U_zz и U_∆ зависят от ξ и h. Этот вывод относится к отрезку профиля, для которого ρ_b < 1. Максимальные погрешности для U_zz и U_∆ имеем при ξ = 0 и h/b = ρ_b:

ε_zz = - ρ_b² + ρ_b⁴,

ε_∆ = ρ_b² - ρ_b⁴ (****)

Из формул (***) и (****) следует, что влияние конечного простирания на различные производные различно при заданном значении ρ_b, но с уменьшением ρ_b это влияние резко убывает.

Наибольшее влияние конечное про­стирание оказывает на U_∆, наименьшее - на U_xz. Поэтому при интерпретации гравитационных аномалий двухмерные модели гео­логических объектов наиболее пригодны в случае, когда исполь­зуются горизонтальная составляющая U_xz, вертикальная соста­вляющая U_zz и сила тяжести U_z.

Проанализируем формулы, выражающие гравитационное действие горизонтального бесконечного по простиранию материального стержня. Перепишем формулы (*) для случая, когда начало координат располагается над осью цилиндра. Так как х + ξ = 0, где х - координата точки наблюдения на оси х, рас­положенной вкрест простирания цилиндра, то

U_z(x, 0) = ∆g(x, 0) = 2kλ ,

U_xz(x, 0) = -4kλ , (*)

U_∆(0, 0) = U_zz(0, 0) = 2kλ ,

А нализ формул начнем U_z. Кривая U_z всюду положительна, U_z(+х) = U_z(-х), при х = ± ∞ функция U_z = 0. При х = 0 кривая U_z имеет максимальное значение:

U_{z max} = .

Обозначая х_n абсциссы, где U_zn = nU_{z max}, имеем n = = .

Обозначив x_n/h = x_nh и ре­шив уравнение относи­тельно х_пh, получим:

x_nh = .

При n = 0.5 абсцисса х_1/2 = h.

По формуле n = определяется значение h. А по формуле U_{z max} = значение λ. Если известна избыточная плотность σ, то можно найти радиус цилиндра по формуле:

R = .

Горизонтальная составляющая градиента U_xz(x, 0) положительна при x < 0 и отрицательна при х >0, причем U_xz(-х) = -U_xz(+x). При х = 0 и х = ± ∞ функция U_xz = 0.

Исследование функции U_xz на экстремум дает следующие соот­ношения:

x_max = - , x_min = .

Если L - расстояние между точками максимума и минимума U_xz, тo h = 0.87L.

Значение U_{xz max, min} = ±1.299kλ , откуда

Λ = 0.011h².

Поскольку кривые U_zz(x, 0) и U_∆(х, 0) для любого двухмерного тела совпадают, то в дальнейшем будем рассматривать только U_zz.

Вертикальная составляющая градиента:

U_zz(x, 0) = 2kλ

положительна при |х| < h и отрицательна при |х| > h. При |х| = h и x = ± ∞ функция U_zz = 0. Тогда х₀ = h, где x₀ - абсцисса нулевого значения.

Исследование функции на экстремум показывает, что

x_max = 0, x_min = ±h ,

откуда h = 0.58|x_min|.

Экстремальные значения^

U_{zz max} = , U_{zz min} = - .

Так же, как и для U_z, составляя отношение U_zzn/U_{zz max} = n и решая полученное уравнение относительно x_nh, находим

x_nh = .

Таким образом, решение прямой задачи по U_zz, как и по U_z сводится к вычислению максимального значения U_{zz max} и абсциссc долей максимального значения x_n = hx_nh.