§ 4. Аналитические способы определения параметров тел

При определении параметров геологических объектов, создающих гравитационные аномалии, эти объекты заменяют телами правильной формы. Поскольку тело правильной формы описывается меньшим числом параметров, чем тело сложной формы, то такая замена упрощает количественную интерпретацию и позволяет количественно оценить некото­рые характеристики реального геологического тела. Достоверность полученных результатов зависит от степени соответствия геологического объекта заменяющему его телу правильной формы.

Параметры тела правильной формы можно найти аналитическим или графическим способом. Прежде всего, необходимо решить прямую задачу, т.е. получить аналитические выражения для различных производных гравитационного потенциала, определяющие гравитационное действие тела.

При аналитическом способе определения параметров тела иссле­дуют выражения различных производных гравитационного потен­циала и устанавливают связь некоторых характерных точек этих производных (точки максимума, минимума, перехода через нуль, перегиба и т. д.) с параметрами тела.

При графическом способе определения параметров тела на основе аналитических формул строят атласы теоретических кривых и палеток производных гравитационного потенциала для данной формы тела при различных его параметрах (глубина, размеры). Сравнивая наблюденную кри­вую с теоретической кривой, подбирают такую теоретическую кривую, которая наиболее близко совпадает с наблюденной кривой, и тем самым находят параметры тела.

Для некоторых тел правильной формы найти решение прямой задачи в элементарных функциях нельзя, но решение можно получить приближен­но с любой степенью точности и также построить палетки для интерпретации.

§ 5. Решение прямой и обратной задач для материальной точки и сферы.

Многие геологические объ­екты более или менее изометрической формы могут быть при­ближенно представленные в виде сферы. К таким объектам относятся рудные залежи гнездообразной и штокообразной формы, солянокупольные структуры и т. д. Степень соответствия тем выше, чем больше расстояние от тела до притягиваемой точки.

П усть имеется однородная сферическая масса с центром С, лежа­щим в плоскости Оxz. Начало координат поместим в притягиваемой точке, тогда координаты центра сферы будут:

ξ = ξ, η = 0, ζ = h.

Массу сферы обозначим М.

Известно, что сферическое тело однородной плотности притяги­вает внешнюю точку так же, как притягивает эту точку материаль­ная точка, которая расположена в центре сферы и имеет массу, рав­ную массе сферического тела. Поэтому формулы, выражающие гра­витационное действие сферы, будут иметь вид:

U_z(0, 0, 0) = ∆g(0, 0, 0) = kM ,

U_xz(0, 0, 0) = 3kM ,

U_zz(0, 0, 0) = kM ,

2U_xy(0, 0, 0) = U_yz(0, 0, 0) = 0,

U_∆(0, 0, 0) = -3kM ,

где r = .

Для удобства дальнейшего анализа полученных формул перене­сем начало координат в точку проекции центра сферы на плоскость хОу, т. е. в точку с координатами (ξ, 0, 0). Так как х + ξ = 0, где х - координата точки наблюдения, получаем

U_z(x, 0, 0) = ∆g(x, 0, 0) = kM ,

U_xz(x, 0, 0) = -3kM ,

U_zz(x, 0, 0) = kM ,

2U_xy(x, 0, 0) = U_yz(x, 0, 0) = 0,

U_∆(x, 0, 0) = -3kM ,

где r = .

Исследуем вид кривых производных гравитационного потенциала. Рассмотрим сначала аномалию силы тяжести

U_z(x, 0, 0) = ∆g(x, 0, 0) = kM ,

Кривая U_z всюду положительна и U_z(-х) = U_z(х), при х = ± ∞ функция U_z = 0.

Из условия dU_z/dx = 0 получаем х_мах = 0, т. е. максимум кривой U_z располагается над центром сферы, максимальное значение определяется в виде:

U_{z max} = .

Для определения неизвестных h и М поступим следующим образом.

Обозначим х_n абсциссу кривой U_z, для которой U_zn = nU_{z max}. Тогда

= n = .

Примем x_n/h = x_nh, тогда, решив это уравнение относительно x_nh, получим:

x_nh =

При n = 1/2 имеем x_nh = 0,77, тогда x_1/2 = 0,77h, откуда h = 1.31x_1/2. Масса сферы определяется по формуле:

М = .

Значения U_{z max} и x_1/2, находят из наблюденной кривой U_z. Если известна избыточная плотность σ, то можно определить объем V и радиус сферы R:

M = Vσ = πR³σ.

Для горизонтальной составляющей градиента силы тяжести U_хz имеем выражение

U_xz(x, 0, 0) = -3kM .

Кривая U_xz(х, 0, 0) положительна при х < 0 и отрицательна при х > . U_хz(-х) = -U_xz(+х). При х = 0 и х = ±∞ функ­ция U_xz = 0. Из условия dU_xz/dx = 0 получаем

x_max = - , х_min = + .

Расстояние между экстремумами определяется по формуле:

L = x_min – x_max = h и равен

глубине центра сферы.

Полагая в формуле U_xz(x, 0,0) = -3kM х = -h/2, находим

U_{xz max} = 0.858 ,

откуда можно определить массу сферы М.

Формулы x_max = - , х_min = + верны для профиля, проходящего над центром сферы. В этом случае

U_yz = 0, U_xz = G = .

Если линия наблюдений не проходит над центром сферы, то в общем случае U_yz(х, у, 0) ≠ 0 и векторы горизонтальной составляющей градиента силы тяжести пересекаются в начале координат, в точке проекции центра сферы на плоскость Оху. Это обстоятельство дает возможность определить характер кривой соста­вляющей градиента вдоль профиля, проходящего над центром сферы, если известны значения горизонтальной составляющей градиента вдоль бокового профиля. В этом случае для центрального профиля в качестве х необходимо брать расстояния от проекции центра до соответствующей точки наблюдения, а для U_xz использовать соот­ветствующие величины полной горизонтальной составляющей гра­диента.

Для вертикальной составляющей градиента силы тяжести имеем

U_zz(x, 0, 0) = kM ,

откуда следует, что кривая U_zz(х, 0, 0) положительна при х² < 2h² и отрицательна при х² > 2h², а при х = х₀ = ± h и при х = ± ∞ функция U_zz = 0.

Из условия dU_zz/dx = 0 получаем

x_max = 0, U_{zz max} = ,

x_min = ±2h, U_{zz min} = -0.036 .

По этим формулам определяют неизвестные h и М. Рассмотрим величину:

U_∆(x, 0, 0) = -3kM .

Функция U_∆ всюду отрицательна, за исключением точки х = 0, где U_∆ = 0. При этом U_∆(-x) = U_∆(+x). Исследование уравнения на экстремум дает

x_min = , U_{∆ min} = -0558 ,

что позволяет определить h и М.

Таким образом, решением обратной задачи для сферы можно получить h (положение центра) и М (массу сферы). Радиус сферы можно найти только при известной избыточной плотности сферы σ