§ 17. Определение параметров тел по соотношению разных производных гравитационного потенциала

Выше были рассмотрены способы определения параметров тел правильной формы по одной из кривых: U_z = ∆g, U_xz или U_zz. В случае, когда имеется не одна наблюденная или вычисленная производная гравитационного потенциала, можно найти параметры тела по соотношению между экстремальными значениями разных производных или по абсциссам точек, где значения разных производных равны.

Приведем примеры подобных соотношений.

Для сферы из формул U_{z max} = , U_{xz max} = 0.858 получаем

h = 0.86 .

Из формул U_{z max} = и U_{zz max} = имеем

= .

Для вертикального материального стержня получаем аналогич­ные формулы:

h = 0.38 , h = .

Из формул для вертикального материального стержня, когда глубина нижнего конца стержня значительно больше глубины верхнего конца стержня

U_z(x, 0, 0) = ,

U_xz(x, 0, 0) = kλ( - ),

U_zz(x, 0, 0) = kλ( - ),

получаем U_xz = U_zz при –x = h.

Для горизонтального кругового цилиндра, используя формулы U_{z max} = , U_{xz max, min} = ±1.299kλ , U_{zz max} = , U_{zz min} = - , получаем

h = 0.65 , h = .

Для вертикальной материальной полосы из формул

U_z(x, 0) = ∆g(x, 0) = 2kλ ,

U_xz(x, 0) = -4kλ ,

U_∆(0, 0) = U_zz(0, 0) = 2kλ , и

U_xz(x, 0) = -2kμ ,

имеем

U_xz = U_zz при -x = h.

Для горизонтальной материальной полуплоскости

h = 0.32 , U_xz = U_zz при x = h.

Е сли имеется только кривая U_z(x, 0), то указанные способы вычисления параметров тел можно применить, получив производные U_xz и U_zz одним из существую­щих приемов. В частности, производная U_{xz max} может быть определена графически:

U_{xz max} = .

§ 18. Графические способы определения параметров тел

Сущность графического способа состоит в том, что к наблюденной кривой подбирают теоретическую кривую, рассчитанную на основе решения прямой задачи. Совпадение наблюденной кривой с теоре­тически рассчитанной служит основанием для отождествления реаль­ного геологического объекта, создающего наблюденную аномалию, с телом, для которого рассчитана теоретическая кривая. Преиму­щество этого способа интерпретации перед методом характерных точек заключается в использовании всей наблюденной аномаль­ной кривой.

Основой графического способа интерпретации являются атласы или палетки теоретических кривых производных гравитационного потенциала, вычисленные и построенные для тел разной формы и разных параметров. Для изображения кривых обычно используют относительный масштаб. По горизонтальной оси откладывают не абсолютную величину абсциссы, а ее отношение к какому-нибудь параметру тела, например глубине; по вертикальной оси отклады­вают отношение соответствующей производной к ее максимальному или какому-либо другому значению, принятому за единицу. Теоре­тические кривые строят в линейном, полулогарифмическом или логарифмическом масштабе.

Атлас теоретических кривых U_z, U_xz, U_zz в линейном масштабе составлен Д. С. Миковым для различных тел: эллиптических цилиндров, параллелепипедов, наклонных и вертикальных ступеней, наклонных пластов и др. Атлас кривых U_z, U_xz, U_zz в логарифми­ческом масштабе для тел, ограниченных плоскими наклонными гранями, принадлежит А. А. Непомнящих. А. А. Юньков является автором атласа кривых в логарифмическом и полулогарифмическом масштабе для тел в виде параболических цилиндров, наклонных уступов и др. Для практического использования наиболее удобны теоретические кривые в логарифмическом или полулогарифмическом масштабе.

Сущность построения теоретических кривых и использования их для интерпретации гравитационных аномалий состоит в следующем.

Для тела постоянной плотности σ аномалия любой производной U_n(х, у, 0) гравитационного потенциала U может быть представлена в виде

U_n(x, y, 0) = kσF_S(x, y, ξ₀, ζ₀, η₀, R, α, β, γ), (1)

где F_S - функция, которая зависит от вида производной гравитационного потенциала, от формы, размеров R и положения тела, определяемого координатами центра тяжести ξ₀, η₀, ζ₀ и углами наклона тела α, β, γ относительно принятой системы координат от переменных координат точки наблюдения х, у. В зависимости от формы тела вместо координат ξ₀, ζ₀, может стоять глубина верхней и нижней кромок, горизонтальная мощность, глубина характерных точек тела и т. д.

Если профиль наблюдений совпадает с осью х, а начало коорди­нат совмещено с проекцией центра тяжести тела на плоскость хОу и все линейные параметры функции F_S выражены в единицах глу­бины ζ₀, то выражение (1) имеет вид

U_n(x, 0, 0) = kσζ₀^2-nF_S( , ,α, β, γ).

Если геометрические параметры тела и его форма постоянны, то функция F_S зависит только от , т. е.

U_n(x, 0, 0) = kσζ₀^2-nF_S( ).

Логарифмируя это равенство, получаем

lnU_n(x, 0, 0) = lnkσζ₀^2-n + lnF_S( ).

Таким образом, форма кривой lnU_n(x, 0, 0) определяется только характером изменения lnF_S( ) и не зависит от kσζ₀^2-n. При

изменении kσζ₀^2-n кривая lnU_n(x, 0, 0) перемещается параллельна самой себе вдоль оси ординат.

Если же рассматривать кривую lnU_n(х, 0, 0) как функцию аргумента не , a ln( ) = lnх - lnζ₀, то форма кривой

lnU_n(x, 0, 0) = lnkσζ₀^2-n + lnF_S(lnx - lnζ₀)

не будет зависеть и от величины ζ₀.

При изменении ζ₀, кривая U_n(x, 0, 0) сдвигается параллельно самой себе вдоль оси абсцисс.

Следовательно, если кривые производных гравитационного по­тенциала построены в логарифмическом масштабе, т. е. по оси ординат отложены величины ln(U_n (x, 0, O)/kσζ₀^2-n), а по оси абсцисс ln( ), то форма кривых не зависит ни от kσζ₀^2-n, ни от ζ₀. При составлении атласа вычисляют теоретические кривые lnU_n (x, 0, 0) как функции ln( ) при фиксированных параметрах , α.

Чтобы найти параметры тела графическим методом, наблюденную кривую (U_n)_H(x, 0, 0) строят в логарифмическом масштабе; по оси ординат откладывают ln(U_n)_H (x, 0, 0), а по оси абсцисс lnx. В этом случае наблюденная кривая описывается уравнением

ln(U_n)_H(x, 0, 0) = lnkσζ₀^2-n + lnF_S(lnx).

Наблюденную кривую сравнивают с теоретическими, вычислен­ными при kσζ₀^2-n = 1. Аналитическое выражение теоретической кривой имеет вид

ln(U_n)_T(x, 0, 0) = lnF_S(lnx - lnζ₀).

Наблюденная кривая смещается относительно теоретической по оси ординат на lnkσζ₀^2-n, а по оси абсцисс на lnζ₀. По этим смещениям определяют σи ζ₀. Остальные параметры тела (R, α) находят по индексам теоретической кривой, с которой совпала наблюденная.

Вид палеток зависит от формы тел и от выбранных функций, в каждом атласе даны объяснения, как им пользоваться.