§ 16. Решение прямой и обратной задач для наклонного пласта

Н аклонным пластом на­зывается тело бесконечного простирания, ограниченное сверху горизонтальной, а с боков двумя параллельными наклонными полуплоскостями. Таким образом, наклонный пласт представляет собой частный случай наклонного слоя, когда α = Ф.

Полагая горизонтальную мощность пласта 2d, глубину залегания его верхней кромки h и перенося начало координат в точку, рас­положенную над серединой горизонтальной стороны слоя (ξ₂ = -d, ξ₁ = d, ζ₂ = ζ₁ = h), Из формул (4, § 16) получаем

U_xz(x, 0) = kσ(sin²αln + sin2α(arctg - arctg )), (1)

U_zz(x, 0) = -kσ( sin2αln - 2sin²α(arctg - arctg )).

Эти формулы можно представить в виде

U_xz(x, 0) = L(x) + A(x),

U_zz(x, 0) = L₁(x) + A₁(x),

где L(x) = kσsin²αln ,

L₁(x) = -kσ sin2αln ,

A(x) = kσsin2α(arctg - arctg ), (2)

A₁(x) = 2kσsin²α(arctg - arctg ).

Сравнение функций L(x), L₁(x) и А(х), А₁(x) с выражениями для U_xz и U_zz вертикального пласта показывает, что функции L(х) и L₁(х) пропорциональны U_xz, а функции А(х) и A₁(х) пропорциональны U_zz. Однако в случае, когда α значительно отличается от π/2, кривые U_хz и U_zz для наклонного пласта отличаются от соот­ветствующих кривых U_xz и U_zz для вертикального пласта: нару­шается симметрия кривых, сдвигаются точки экстремумов.

Из формул (2) следует

L(+x) = -L(-x), L₁(+x) = - L₁(-x),

A(+x) = A(-x), A₁(+x) = A₁(-x).

Отсюда находим следующие выражения:

L(±x) = (U_xz(±x) – U_xz( x)),

A(±x) = (U_xz(±x) + U_xz( x)), (3)

L₁(±x) = (U_zz(±x) – U_zz( x)),

A₁(±x) = (U_zz(±x) + U_zz( x)),

Таким образом, кривые L(х), А(х), L₁(х), А₁(х) могут быть построены из исходных кривых U_xz и U_zz при условии, что известно начало координат над серединой пласта. Чтобы определить положение начала координат, найдем абсциссы точек максимума и мини­мума кривых U_xz и U_zz и подставим значения U_{xz max}, U_{zz max} в общие формулы (1). Алгебраическая сумма ординат

U_{xz max} + U_{xz min} = kσsin2αarctg ,

U_{zz max} + U_{zz min} = 2kσsin²αarctg .

Но при x = 0

U_xz(0, 0) = kσsin2αarctg ,

U_zz(0, 0) = 2kσsin²αarctg .

Таким образом,

U_{xz max} + U_{xz min} = U_xz(0, 0),

U_{zz max} + U_{zz min} = U_zz(0, 0).

Э ти выражения позволяют весьма просто находить положение начала координат - середину пласта. Покажем это на примере кривой U_xz. Строим ординаты максимума и минимума этой кривой и находим, ординату U_хz(0, 0), равную их алгебраиче­ской сумме, таким образом определяем точку О, лежащую между вершинами кривой.

Найдя эту точку, можно по формулам (3) построить кривые L(x), А (х). По ним определяют горизонтальную мощность 2d и глубину h верхней кромки. Для этого используют приемы, рассмотрен­ные для вертикального пласта. Из кривых L(х) и А(х) можно вычислить

σ_L = 2σsin²α, σ_A = σsin2α.

Тогда α = arctg , σ = = .

Если параметры пласта определяют по функции U_zz, то исполь­зуя кривые L₁(x) и A₁(х) находят

σ_L1 = σsin2α, σ_A1 = 2σsin²α.

α = arctg , σ = = .