§ 14. Решение прямой и обратной задач для наклонного слоя

Наклонным слоем называется тело бесконечного простирания, ограниченное двумя параллельными наклонными полуплоскостями, уходящими в бесконечность в одном и том же направлении, и одной наклонной плоскостью. Таким образом, рассмотренные ранее вертикальный и наклонный уступы являются частным случаем наклонного слоя, когда боковые грани последнего параллельны оси х.

Пусть начало координат находится в точке наблюдений, а боковые грани слоя составляют с осью х угол Ф. Введем вспомогательную систему координат х₁ y₁, z₁ с началом в точке наблюдений, соста­вляющую угол Ф с исходной системой х, у, z. Очевидно, что ось х₁ параллельна боковым сторонам слоя.

В этой системе координат значения элементов гравитационного поля вычисляются по формулам (1 § 14 ) для наклонного уступа:

U_z1(0, 0) = kσ(2(h₂)₁ (φ₂)₁ – (h₁)₁ (φ₁)₁ – ξ₁(2sin²αln + sin2α∙Θ)),

U_x1z1(0, 0) = kσ(2sin²αln + sin2α∙Θ), (1)

U_z1z1(0, 0) = kσ(sin2αln - 2sin²α∙Θ),

где Θ = (φ₂)₁ – (φ₁)₁.

Исходная и вспомогательная системы координат связаны следующим соотношением:

x₁ = xcosФ + zsinФ,

x₁ = -xsinФ + zcosФ.

Теперь надо выразить производные U_z, U_xz и U_zz через U_z1, U_x1z1 и U_z1z1. Очевидно, что

= ∙ + ∙ = ∙cosФ - ∙sinФ,

Аналогично

= ∙sinФ - ∙cosФ,

следовательно,

= sinФcosФ + cos²Ф - sin²Ф - sinФcosФ,

= sin²Ф + sinФcosФ + sinФcosФ + cos²Ф.

Имея в виду, что для двухмерной задачи

= - ,

после простых преобразований получаем

= cos2Ф - sin2Ф,

= sin2Ф + cos2Ф. (2)

Очевидно, что в рассматриваемом случае = ∞, так как = ∞.

Тогда

U_z = ∞sin Ф + U_z1cos Ф,

откуда следует, что вертикальная составляющая притяжения наклонного пласта, бесконечного по простиранию и падению, равна бесконечности, за исключением случая, когда Ф = 0 или Ф = π. Таким образом, для наклонного слоя имеет смысл рассматривать только производные U_xz и U_zz.

Подставляя значения U_x1z1 и U_z1z1 из формулы (1) в (2), получаем

U_xz(0, 0) = 2kσsinα((sinαcos2Ф - cosαsin2Ф)ln + (sinαsin2Ф - cosαcos2Ф)∙Θ),

U_zz(0, 0) = 2kσsinα((sin αsin2Ф + cosαcos2Ф)ln + (cosαsin2Ф - sinαcos2Ф)∙Θ),

или окончательно

U_xz(0, 0) = 2kσsinα(sin(α - 2Ф)ln + (cos(α - 2Ф)∙Θ),

U_zz(0, 0) = 2kσsinα(cos(α - 2Ф)ln - sin(α - 2Ф)∙Θ), (3)

Удобные аналитические способы определения параметров наклонного слоя в общем случае не разработаны. Существуют только решения дяя некоторых частных случаев, например для вертикаль­ного и наклонного уступов. Рассмотрим еще некоторые случаи, наиболее важные для практики.

Формулы (3) удобны для вычисления и исследования кри­вых U_xz и U_zz. Комбинируя произвольно расположенные наклонные

слои, можно получить решение прямой задачи для различных тел, сечение которых представляется многоугольником.

П араметры слоя определяют в основном по формулам в декартовых координатах. Пусть М(х, 0) - точка наблюдения, в которой находят U_xz и U_zz; N₂(ξ₂, ζ₂) и N₁(ξ₁, ζ₁) - вершины наклонного слоя. Тогда расстояние от точки М до точек N₁ и N₂

ρ₁ = , ρ₂ = ,

а углы

φ₁ = arctg , φ₂ = arctg ,

φ₂ - φ₁ = Θ = arctg - arctg .

Обозначим x₀ абсциссу точки пересечения конечной стороны слоя с осью х. Тогда, подставляя значения ρ₁, ρ₂ и Θ в формулы (a, § 13), (3), получаем для силы тяжести U_z(х, 0) при Ф = 0

U_z(x, 0) = ∆g(x, 0) = 2kσ(ζ₂arctg - ζ₁arctg

+ (x – x₀)sinα(sinαln + cosα(arctg - arctg ))).

Для вторых производных потенциала при Ф ≠ 0:

U_xz(x, 0) = 2kσsinα(sin(α – 2Ф)ln + cos(α – 2Ф)(arctg - arctg )), (4)

U_zz(x, 0) = 2kσsinα(cos(α – 2Ф)ln - sin(α – 2Ф)(arctg - arctg )).

Перейдем к рассмотрению некоторых частных случаев наклон­ного слоя.