§ 13. Решение прямой и обратной задач для наклонного уступа

Наклонным уступом называется тело бесконечного простирания, ограниченное двумя горизонтальными и одной наклонной плоскостью. Геологическими аналогами наклонного уступа являются наклонные сбросы, контакты интру­зий и т. п.

Аналитические выражения гравитационного действия наклонного ус­тупа можно получить из формул гравитационного действия горизонтальной материальной полу­плоскости:

U_z(x, z) = 2kμh = 2kμ( + arctg ) = 2kμΘ,

U_xz(x, z) = 4kμh = 2kμ ,

U_zz(x, z) = 2kμ = 2kμ

Р асположим начало коор­динат в точке наблюдения, обозначим ξ точку пересечения боковой грани уступа с осью х, α - угол наклона боковой грани. Действие наклонного уступа можно рассматривать как сумму действий материальных полуплоскостей, расположенных на глубине ζ, имеющих поверхностную плотность μ = σdζ, и координаты крайней точки ξ - ζctgα. Тогда, можно написать формулы для наклонного уступа:

U_z(0, 0) = ∆g(0, 0) = 2kσ ,

U_xz(0, 0) = 2kσ ,

U_zz(0, 0) = -2kσ .

После интегрирования находим

U_z(0, 0) = 2kσ(ζ( -arctg ) - ln(ζ² - 2ξζsinαcosα – ξ²sin²α) - ξsinαcosαarctg ) ,

U_xz(0, 0) = kσ(sin²αln(ζ² - 2ξζsinαcosα + ξ²sin²α) + sin2α arctg ) , (a)

U_zz(0, 0) = kσ( sin2αln(ζ² - 2ξζsinαcosα + ξ²sin²α) - 2sin²α arctg ) ,

Эти формулы довольно сложны, что затрудняет разработку аналитических методов интерпретации. Для решения прямой задачи в случае наклонного уступа эти формулы можно преобразовать следующим образом. Введем полярные координаты ρ и φ, связанные с прямоугольными координатами соотношениями:

ξ – ζctgα = ρcosφ,

ζ = ρsinφ,

ρ² = (ξ – ζctgα)² + ζ² = .

Обозначив ρ₁, φ₁ и ρ₂, φ₂ полярные координаты верхнего и ниж­него углов уступа, получим

U_z(0, 0) = kσ(2(h₂φ₂ – h₁φ₁) – ξ(2sin²αln + sin2α(φ₂ – φ₁))),

U_xz(0, 0) = kσ(2sin²αln + sin2α(φ₂ – φ₁)), (1)

U_zz(0, 0) = kσ(sin2αln - 2sin²α(φ₂ – φ₁)).

Последние формулы достаточно просты и удобны для вычислений гравитационного эффекта наклонного уступа. Расстояния ρ и углы φ можно измерять непосредственно по чертежу уступа или построить специальную палетку для вычисления величин r = ln и Θ = φ₂ – φ₁. Сущность этой палетки сводится к определению гео­метрического места точек, у которых одна из величин (г или Θ) для некоторого отрезка прямой постоянна.

П усть имеется отрезок прямой длиной 2d на оси х, причем начало координат лежит в середине отрезка, а точка Р - точка наблюдения. Так кА

φ₂ = arcctg ,

φ₁ = arcctg ,

Θ = φ₂ – φ₁ = arcctg . (*)

Для r = ln имеем r = ln ,

откуда e^r = .

Поскольку cthr = , то cth r = . (**)

Уравнения (*) и (**) можно записать в следующем виде:

x² + z² + 2dzctg Θ – d² = 0,

x² + z² - 2dzcth d + d² = 0/

Эти уравнения являются уравнениями окружностей. Координаты их центров и радиусы:

ξ₀ = 0, ξ_r = dcth r, ζ₀ = -dctg Θ, ζ_r = 0,

ρ_Θ = d = , ρ_r = d = .

В таблице приведены значения ξ_г, ρ_к, ζ_Θ и ρ_Θ при d= 1.

Таблица

Координаты центров и радиусы окружностей палетки r и Θ.

R, Θ	ξr	ρr	ζΘ	ρΘ
0,1	10,033	9,983	9,966	10,016
02	5,066	4,967	4,933	5,033
03	3,432	3,284	3,232	3,384
0,4	2,632	2,434	2 365	2,568
0.5	2164	1,919	1,831	2,086
0,6	1,862	1571	1,431	1,771
0,7	1,654	1,318	1,187	1,552
0,8	1506	1,126	0,971	1,394
0,9	1,396	0,974	0,793	1,276
1,6	1,313	0,851	0,642	1,188
1,1	1,249	0,748	0,509	1,122
1,2	1,199	0,662	0,389	1,073
1,3	1,161	0589	0,277	1,038
14	1,129	0,525	0,172	1,015
1,5	1,105	0,469	0,071	1,002
1,6	1,085	0,421	-0,029	1,001
1,7	1.069	0,378	-0,130	1,008
1,8	1,056	0,340	-0,233	1,027
1,9	1,046	0,306	-0,341	1,056
2,0	1,037	0,275	-0,457	1,100
2Д	1,030	0,248	-0,585	1,158
2,2	1,025	0,224	-0,728	1,237
2,3	1,020	0,202	-0,893	1,341
2,4	1,016	0,183	-1,096	1,480
2,5	1,013	0,165	-1.338	1,671
2,6	1,011	0,149	-1,662	1.940
2,7	1,009	0,135	-2,115	2,340
2,8	1,007	0,122	-2,812	2,985
2,9	1,006	0,110	-4,058	4,179

На основе этой таблицы строят палетку г и Θ. Вычисления по палетке осуществляют следующим образом. На кальке строят разрез тела в таком масштабе, чтобы конечная сторона уступа была р авна длине линии 2d палетки. На линии наблюдений отмечают точки, в которых необходимо вычислить значения г и Θ. Совмещая конечную сторону уступа с линией 2d палетки, в точках на линии наблюдений снимают с палетки отсчеты г и Θ.

Эта палетка может быть использована для вычисления гравита­ционного эффекта тел, в аналитических выражениях для которых содержатся ln( ) и (φ₂ - φ₁).

Для случая вертикального уступа (при α = π/2) формулы (1) приобретают вид

U_z(0, 0) = ∆g(0, 0) = 2kσ(((h₂φ₂ – h₁φ₁) – ξln ),

U_xz(0, 0) = 2kσln , (b)

U_zz(0, 0) = -2kσ(φ₂ – φ₁)).

Как уже отмечалось, простые и удобные аналитические способы определения параметров наклонного уступа не разработаны. Пред­ложен аналитический способ, основанный на одновременном использовании кривых U_xz и U_zz, но на практике он не применяется. Поэтому ограничимся рассмотрением только общего характера кри­вых U_z и U_xz наклонного уступа и их сопоставлением с кривыми вертикального уступа. Если перенести начало координат в точку пересечения наклонной грани с осью х, то в формулах (a) и (b) следует -ξ| заменить на х.

Для наклонного уступа так же, как и для вертикального, при x = -ξ = -∞ функция U_z = 0, при х = -ξ = +∞ значение U_z = 2πkσ(h₂ – h₁). Но при х = 0, т. е. в точке пересечения боко­вой граyи с осью х, имеем

U_z(0) = 2kσ(π – α)(h₂ – h₁).

Таким образом,

при α < U_z(0) > πkσ(h₂ – h₁),

при α > U_z(0) < πkσ(h₂ – h₁).

Угол наклона α заметно влияет на форму кривой только тогда, когда амплитуда уступа h₂ – h₁ велика по сравнению с глубиной h₁. Во многих случаях аномалии, обусловленные наклонным усту­пом, можно рассматривать как аномалии, создаваемые действием вертикального уступа.

Следует отметить, что из кривой U_z уступа с углом α < легко получить кривую U_z уступа с углом π - α. Действительно, такие два уступа образуют бесконечный плоский слой, аномалия

силы тяжести которого равна 2πkσ(h₂ – h₁). Поскольку изменение направления простирания уступа равносильно перемене знака координаты х или ξ в формулах (a), то можно написать следующее соотношение:

U_z(x, π – α) = 2πkσ(h₂ – h₁) – U_z(-x, α),

которое и позволяет построить кривую U_z уступа с углом π – α, если известна кривая U_z уступа с углом α < . Простого и удобного решения задачи, которое позволило бы определить параметры наклонного уступа по каждой из кривых U_xz и U_zz не получено.

П ри интерпретации этих кривых в случае наклонного уступа исполь­зуют различного рода палеточные методы, поскольку кривые U_xz и U_zz удобны для составления различного рода теоретических кри­вых. Дело в том, что кривые U_xz и U_zz при заданных значениях σ, α и h₂/h₁ можно представить в виде функций одного параметра x/h₁, т. е. функций отношения расстояния от точки наблюдения до точки пересечения наклонного ребра уступа с осью х к глубине верхней плоско­сти уступа.

Кривые U_xz для наклонного уступа, представленные на рисунке рассчитаны по формуле (a), но представленной в несколько ином виде: начало коор­динат помещено не в точке наблю­дения, а в точке ξ - точке пересе­чения наклонной грани уступа заменено с осью х, для этого ξ заменено на (-х). Графики рассчитаны для σ = 0,5 г/см³. Используя их, можно построить кривые и для значений α + π/2. Пусть α = π/2 ± β, подставив это значение α в формулу U_xz, получим

U_xz(+ -β) = U_xz(- +β)

Таким образом, чтобы от α = π/2 - β перейти к α = π/2 + β. достаточно построить зеркальное изображение кривой U_xz относительно вертикальной прямой, проходящей через начало координат. Если же одновременно изменяется и направление уступа относительно профиля, то у кривой U_xz необходимо еще поменять знак или построить зеркальное изображение кривой относительно оси х, так как изменение направления уступа равносильно перемене пределов интегрирования в общей формуле для U_xz.

Сравнение кривых U_чя при различных α пока­зывает, что кривые заметно различаются только при достаточно больших отношениях h₂/h₁, характеризующих вертикальную мощ­ность уступа. При h₂/h₁ ≤ 3 кривые одинаковы даже при значитель­ных изменениях угла α. Отсюда следует, что при малой мощности уступа (h₂/h₁ < 3) определение угла наклона боковой грани практически невозможно. С другой стороны, в этом случае можно пользо­ваться формулами для вертикального уступа и определять по ним h₂ и h₁ раздельно. При углах α, близких к 90° (α > 50°) кривые U_xz наклонного уступа мало отличаются от кривых U_xz вертикального уступа даже при большой вертикальной мощности (h₂/h₁ < 5 ÷ 10). При больших значениях h₂/h₁ и уменьшении угла α наклон боковой грани заметно сказывается на форме кривых U_xz, создавая асим­метрию относительно точки максимального значения и уменьшая абсолютную величину максимума. Более пологая ветвь кривой U_xz всегда располагается в направлении падения боковой грани.

Пользуясь атласом теоретических кривых U_xz наклонного уступа, можно построить теоретические кривые для любых призм. Такие призмы могут с достаточной степенью точности аппроксимировать тела произвольной формы, а также геологические структуры типа антиклиналей, синклиналей и т. п.