5. Сила тяжести и ее потенциал

Материальная точка, расположенная в Земле или на ее поверхности, испытывает воздействие силы притяжения Земли и центро­бежной силы, вызванной вращением Земли, а также силы притяжения других небесных тел. Совокупность этих сил представляет собой гравитационное поле Земли.

Мерой гравитационного поля является его напряженность, которая в гравиметрии называется силой тяжести g и которая представляет собой силу, действующую на массу, равную единице.

Гравитационное поле Земли обычно рассматривают как поле воздействия двух сил: силы притяжения и центробежной силы Земли. Остальные силы (например, притяжение Луны и Солнца) ввиду их малости не учитывают.

Центро­бежная сила возникает при вращательном движении массы вокруг некоторой оси и направлена перпендикулярно к оси вращения. Вели­чина центробежной силы, действующей на единичную массу, чис­ленно равна центробежному ускорению:

С = = ω²ρ,

где ρ - расстояние точки от оси вращения; v и ω - линейная и угловая скорости вращения точки.

Введем прямоугольную систему координат х, у, z с началом в центре Земли, ось z направлена по оси вращения Земли. Центробежная сила всегда параллельна плоскости хОу. Ее составляющие по осям

С_x = Сcos (ρ, х) = ω²х;

С_у = Сcos (ρ, y) = ω²y;

C_z = 0.

Центробежная сила C и ее составляющие С_x, C_y, C_z могут быть представлены как частные производные функции

V = = (x² + y²),

которая называется потенциалом центробежной силы. Продифференцировав дважды выражение для V, найдем

∆V = + + = 2ω².

Сумма вторых производных потенциала центробежной силы не равна нулю, следовательно, этот потенциал не является гармонической функцией. Потенциал центробежной силы и его производные непрерывны и конечны на конечном расстоянии от оси вращения Земли.

Поскольку сила тяжести представляет собой геометрическую сумму силы притяжения и центробежной силы, ее проекции на оси координат могут быть выражены в виде

W_x = U_x + V_x; W_y = U_y + V_y; W_z = U_z + V_z, где W = U + V -

потенциал силы тяжести.

Сила тяжести может быть представлена как производная по внеш­ней нормали к уровенной поверхности (W = cost), взятая с обратным знаком: g = - или g = .

Меняя в формуле W = cost значение постоянной, получаем различные уровенные поверхности. Одна из этих поверхностей, а именно та, которая совпадает с невозмущенной поверхностью воды в океане, называется геоидом и принимается за фигуру Земли.

Геоид имеет большое научное и практическое значение, так как относительно геоида определяют высоты точек физической поверхности Земли. По­скольку поверхность геоида совпадает с поверхностью невозмущен­ного океана, высоты над поверхностью геоида обычно называют высотами над уровнем моря.

Потенциал W имеет максимум в центре Земли, при удалении от которого он непрерывно убывает.

Фигура Земли определяется силой тяжести, основной компонен­той которой является сила притяжения, так как по сравнению с нею влияние центробежной силы мало.

Максимального значения на поверхности Земли центробежная сила достигает на экваторе, где ее величина равна ω²а (а - радиус Земли на экваторе). Отношение этой вели­чины к значению силы тяжести g_e на экваторе определяется по формуле q = и равно 1: 288,4.

Центробежная сила, будучи перпендикулярной к оси вращения, уменьшает значение силы тяжести на величину ω²аcos²φ, где φ - широта места, в котором рассматривается сила тяжести. При движении от экватора к полюсам центробежная сила уменьшается и на полюсах становится равной нулю. Следовательно, сила тяжести Земли на полюсе на 1/288,4 больше силы тяжести на экваторе. Из-за формы Земли сила тяжести на полюсе увеличивается на 1/549 своей вели­чины (около 1,7 гал). Таким образом, суммарное изменение силы тяжести на поверхности Земли составляет около 5 гал: от g_e = 978 гал на экваторе до g_p = 983 гал на полюсе. Отношение раз­ности силы тяжести на полюсе и экваторе к силе тяжести на экваторе определяется по формуле:

β = = .