4. Общие интегральные выражения производных потенциала притяжения.

Выражения производных гравитационного потенциала можно получить из формулы U = k , если задано расположение возмущающих масс относительно притягиваемой точки. В этом случае потенциал притяжения в точке с прямоугольными координатами х, у, z, лежа­щей вне тела V, определяется формулой

U(x, y, z) = k .

В общем случае плотность тела σ есть функция переменных ин­тегрирования ξ, η, ζ. В гравиразведке обычно рассматривают тела с постоянной плотностью. При этом условии σ выносят за знак интеграла.

Для обозначения производных потенциала притяжения U исполь­зуют индексы, указывающие координаты, по которым ведется диф­ференцирование. Дифференцируя последнее равенство по х, у, z, получаем выражения для первых производных:

U_x(x, y, z) = kσ ,

U_y(x, y, z) = kσ ,

U_z(x, y, z) = kσ .

Повторное дифференцирование дает выражения для вторых производных потенциала:

U_xx(x, y, z) = σk =

= kσ ,

U_yy(x, y, z) = σk =

= kσ ,

U_zz(x, y, z) = σk =

= kσ ,

U_∆(x, y, z) = U_yy(x, y, z) – U_xx(x, y, z) = 3σk ,

U_xz(x, y, z) = 3σk ,

U_yz(x, y, z) = 3σk ,

U_xy(x, y, z) = 3σk ,

где r = .

Часто для вычислений удобно начало координат помещать в притягиваемую точку, т. е. полагать x = y = z = 0. Тогда выражения для производных потенциала будут иметь вид:

U_x(0, 0, 0) = σk ,

U_y(0, 0, 0) = σk ,

U_z(0, 0, 0) = σk ,

U_xz(0, 0, 0) = 3σk ,

U_yz(0, 0, 0) = 3σk ,

U_xy(0, 0, 0) = 3σk ,

U_xx(0, 0, 0) = σk ,

U_yy(0, 0, 0) = σk ,

U_zz(0, 0, 0) = σk ,

U_∆(0, 0, 0) = 3σk ,

где r = (ξ² + η² + ζ²)^1/2.

Часто при расчетах в гравиразведке используется вертикальная цилиндрическая система r, α, z, связанная с прямоугольной системой координат соотношениями:

α = rcosα, η = rsinα, ζ = z, dξdηdζ = rdrdαdz.

Выражения для первых и вторых производных потенциала будут иметь вид:

U_x(0, 0, 0) = kσ ,

U_y(0, 0, 0) = kσ ,

U_z(0, 0, 0) = kσ ,

U_xz(0, 0, 0) = 3kσ ,

U_yz(0, 0, 0) = 3kσ ,

U_zz(0, 0, 0) = 3kσ ,

U_xy(0, 0, 0) = 3/2kσ ,

U_∆(0, 0, 0) = -3kσ ,

При изучении гравитационного эффекта тел, размеры которых по простиранию значительно больше их поперечных размеров, можно считать, что гравитационное поле над серединой таких тел почти равно полю тел, простирание которых бесконечно. Это предположе­ние существенно упрощает вычислительные операции, незначительно снижая точность результата. Поэтому в гравиразведке большое зна­чение имеет понятие о двухмерных телах, т. е. о телах, простира­ющихся в одном измерении в бесконечность. Форму двухмерного тела целиком определяет его поперечное сечение s. Двухмерные тела можно рассматривать как цилиндрические, полученные при движе­нии образующей вдоль контура их поперечного сечения. Положим простирание двухмерного тела параллельным оси у, а плотность независимой от координаты η. В этом случае основному свойству потенциала будет удовлетворять следующая функция, называемая логарифмическим потенциалом:

U(x, z) = -kσ .

Значения производных первого порядка от логарифмического потенциала будут иметь вид:

U_x(x, z) = 2kσ ,

U_z(x, z) = 2kσ ,

U_y(x, z) = 0.

Вторые производные гравитационного потенциала двумерных тел имеют вид:

U_xz(x, z) = 4kσ ,

U_zz(x, z) = U_∆(x, z) = 2kσ ,

U_yz = U_xy = 0, где r = .