Тема 8. Застосування леми Бернсайда для розв’язання комбінаторних задач.

Мета вивчення теми:

Ознайомитися з лемою Бернсайда про кількість орбіт та основними принципами її застосування для розв’язування комбінаторних задач.

Питання для опрацювання:

Орбіти. Лема Бернсайда про кількість орбіт. Основні прин­­ципи та особливості за­стосування леми Берн­сайда для розв’язування комбінаторних задач.

Методичні рекомендації:

Нехай Х – деяка скінченна множина елементів , S(Х) – група всіх бієктивних ві­до­б­­ра­жень множини Х у себе, G – певна група. Під реалізацією G у S(Х) розу­мі­ти­ме­мо будь-який гомоморфізм  : G  S(X). Для простоти позначень замість t(g), де gG, будемо писати t_g , а замість t_g (х), де хХ, – gx. Дві точки х₁ , х₂ Х на­зи­­вають еквівалентними відносно групи G, що діє на множині Х (G-еквіва­лен­т­ни­ми), якщо існує gG таке, що х₂ = g х₁. Вивчаючи дію групи на множині можна прийти до висновку, що G-еквівалентність є відношенням еквівалентності на Х. Тобто вона має наступні властивості: рефлексивність, симетричність і транзи­тив­ність. Отже, відношення G-еквівалентності розбиває множину Х на класи еквіва­лен­­тності, які називають G-орбітами. Орбіту, що містить елемент х₀ Х будемо по­значати G(x₀), тобто G(x₀) = {gx₀  gG }. Якщо H – підгрупа групи G, то лівим суміжним класом G в H називають множину GH усіх елементів вигляду gh, де g – фіксований елемент з G, а h H, тобто GH = {gh h H}, а правим суміжним класом HG називають множину HG = {hg h H}.

Лема (лема Бернсайда): Нехай Х – скінченна множина елементів; G – скінченна гру­па, що діє на Х; N(g) – кількість елементів з Х, які залишаються на місці при дії g, тобто N(g) = { хХ  gх = х } . Тоді кількість G-орбіт можна визначити за формулою: Для доведення леми використовують такі твердження:

твердження 1: нехай х₀ Х, St(x₀) = { g  gх = х₀ }; тоді St(x₀) – підгрупа групи G (стаціонарна підгрупа точки х₀);

твердження 2: нехай х₀ Х, тоді G(х₀) = G – St(х₀) ;

твердження 3: нехай х₀ Х, тоді для xG(х₀) St(x) = St(х₀) .

Під час вивчення даної теми необхідно розглянути загальну характеристику орбіт та основні принципи використання леми про їх кількість. Слід звер­нути увагу на суміжні класи у підгрупі та дію групи на множині. Сту­денти повинні навчитися застосовувати лему Бернсайда для розв’язування комбінатор­них задач.

Студенти повинні знати:

• загальну характеристику відношення G-еквівалентності;

• лему Бернсайда про кількість орбіт;

• загальну характеристику орбіт (G-орбіт);

• основні принципи та особливості застосування леми Бернсайда для розв’язування комбінаторних задач.

Студенти повинні вміти:

• використовувати позначення та основні поняття теорії алгебр та комбінаторного аналізу;

• застосовувати лему Бернсайда для розв’язування комбінаторних задач.

Питання для самоконтролю:

1. Які точки називають еквівалентними (G-еквівалентними) ?

2. Що представляє собою відношення еквівалентності на множині ?

3. Які властивості має G-еквівалентність, як відношення ?

4. Що представляє собою група, що діє на множині ?

5. Що називають орбітами (G-орбітами) у комбінаториці ?

6. Що представляють собою суміжні класи у підгрупі ?

7. Яке відображення називають взаємно однозначним ?

8. Що представляє собою лема Бернсайда про кількість орбіт ?

9. Які твердження використовують для доведення леми Бернсайда ?

10. Для розв’язування яких задач використовують лему Бернсайда ?

Рекомендована література:

Бардачов Ю. М., Соколова Н. А., Ходаков В. Є. Дискретна математика: Підручник. – К.: Вища школа, 2007. – 232-235 с.