Тема 6. Формула включень і виключень.

Мета вивчення теми:

Ознайомитися з формулою включень і виключень та особливостями її практичного застосування.

Питання для опрацювання:

Формула включень і виключень: її доведення та форми запису.

Особливості практичного застосування.

Методичні рекомендації:

Множина – це сукупність елементів, цілком визначених у випадку кожної конк­рет­ної множини. Множина називається скінченою, якщо вона містить скін­чене чис­ло еле­мен­тів (тобто для неї існує натуральне число, що дорівнює кіль­кості її еле­ментів). Кількість еле­мен­тів скінченої множини А позначають як ½А½ і на­зи­ва­ють потужністю множи­ни. Порожньою називається така множина, яка не міс­тить ніяких елементів. Така множина позначається спеціальним симво­лом Æ. Опе­­ра­ції над множинами та результати їх виконання: об’єднання (А È В) – мно­жи­на, що складається з усіх елементів мно­жи­н А та В і не містить жодних інших еле­мен­тів; перетин (А Ç В) – множина, що складається з тих і тільки тих еле­мен­тів, які належать одночасно множині А та множині В.

Нехай Х₁, Х₂ – дві скінченні множини. Якщо Х₁  Х₂ = , то Х₁  Х₂ = Х₁ + Х₂ . Нехай Х₁  Х₂  . Тоді в Х₁ + Х₂ кожний елемент з Х₁  Х₂ буде вра­хо­ваний двічі, що потрібно виправити. Тому Х₁  Х₂ = Х₁ + Х₂ – Х₁  Х₂ . Тобто кількість елементів в об’єднанні множин виражено через кількість елемен­тів у їх перерізі. Отриману формулу називають формулою включень і виключень. Її можна узагальнити для довільного числа множин.

Твердження: Нехай Х_і – скінченні множини, і = 1, 2, ... , n , де n  2. Тоді

çХ₁ È … È Х_n ç= ( çХ₁ ç+… + çХ_n ç) – ( çХ₁ Ç Х₂ ç+ çХ₁ Ç Х₃ ç+ … + çХ_n–1 Ç Х_n ç) + ( çХ₁ Ç Х₂ Ç Х₃ ç+ … + çХ_n–2 Ç Х_n–1 Ç Х_n ç) + … + (–1)ⁿ⁺¹çХ₁ Ç … Ç Х_n ç.

Довести твердження можна методом індукції за n.

Наслідок: Нехай Х – скінченна множина; X₁, Х₂, ... , Х_n – підмножини Х. Тоді

çХ – (Х₁ È … È Х_n) ç= çХ ç– ( çХ₁ ç+… + çХ_n ç) + ( çХ₁ Ç Х₂ ç+ … + çХ_n–1 Ç Х_n ç) – ( çХ₁ Ç Х₂ Ç Х₃ ç+ … + çХ_n–2 Ç Х_n–1 Ç Х_n ç) + … + (–1)ⁿ çХ₁ Ç … Ç Х_n ç.

Формулу включень та виключень можна записати і в іншій формі. Нехай Х – скін­чен­на множина, що складається з N елементів; a₁, а₂, ... , а_n – деякі властивості, які мо­жуть мати або не мати елементи з Х. Тоді N₀ = N – S₁ + S₂ – … + (–1)ⁿ S_n , де

k = 1, 2, … , n ; N(a_i, ... , а_j) – кількість елементів у Х, які мають одночасно вла­сти­вості a_i, ... , а_j ; N₀ – кількість елементів у Х, що не мають жодної з власти­вос­тей a_i, ... , а_j . Під час вивчення даної теми необхідно роз­гля­нути доведення формули включень і виключень та особливості її практичного застосування. Слід звер­нути увагу на різні форми запису формули включень і виключень. Сту­денти повинні навчитися використо­вувати формулу включень і виключень для розв’язування прикладних задач.

Студенти повинні знати:

• загальну характеристику та основні поняття теорії множин;

• основні тотожності алгебри множин та методи їх доведення;

• формулу включень і виключень та її наслідки;

• основні принципи застосування формули включень і виключень для розв’язування комбінаторних задач.

Студенти повинні вміти:

• використовувати спеціальні позначення та основні поняття теорії множин і комбінаторного аналізу;

• виконувати основні операції над множинами;

• використовувати формулу включень і виключень для розв’язування прикладних задач.

Питання для самоконтролю:

1. Що представляє собою скінченна множина ?

2. Що представляє собою порожня множина ?

3. Які є основні властивості і закони алгебри множин ?

4. Які операції можна виконувати над множинами ?

5. Що представляє собою об’єднання та перетин множин ?

6. Коли можна вважати, що множини рівні ?

7. Що представляє собою формула включень і виключень ?

8. Які існують форми запису формули включень і виключень ?

9. Яким чином можна узагальнити формулу включень і виключень для довільного числа множин ?

10. Для розв’язку яких задач використовують формулу включень і виключень ?

Рекомендована література:

Бардачов Ю. М., Соколова Н. А., Ходаков В. Є. Дискретна математика: Підручник. – К.: Вища школа, 2007. – 225-228 с.