Тема 2. Замикання відношень.

Мета вивчення теми:

Ознайомитися з загальною характеристикою замикання відношень та основними принципами його визначення.

Питання для опрацювання:

Замикання відношення: їх класифікація та особливості. Визначення замикання від­но­шення за певною влас­ти­вістю. Шляхи у відношенні та їх знаходження. Алгоритм Уоршалла.

Методичні рекомендації:

Відношення реалізують у математичних термінах на аб­страктних мно­жинах реа­льні зв’язки між реальними об’єктами. Їх використовують при побу­дові комп’ю­тер­­них баз даних та у програмуванні. Відношення на множині може не мати дея­ких властивостей. За­ми­канням відношення R за властивістю P називають наймен­ше відношення C  R, яке має властивість P. Можна довести, що замикання відно­шення R за власти­віс­тю P, якщо воно існує, являє собою перетин усіх відношень із властивістю Р, які міс­тять R. Як властивість Р можна брати, зокрема, рефлек­сив­ність, симетричність і транзитивність (рефлексивне, симетричне і транзитивне замикання відношення). Побудувати транзитивне замикання відношення склад­ні­ше, ніж рефлексивне чи си­метричне. Шляхом у відношенні R від елемента a до еле­­мента b називають по­слі­довність елементів a, x₁, … , x_n, b таких, що (a, x₁)R, (x₁, x₂)R, … , (x_n, b)R. Процедура відшукання транзитивного замикання відношення R еквівалентна процедурі визначення того, які пари вершин графа з’єднано шляхом. З’єднувальним називають відношення Т, яке складається з таких пар (a, b), що існує шлях від елемента а до елемента b у відношенні R. Тран­зи­тивне замикання відношення R дорівнює з’єднувальному відношенню Т. Для ви­значення транзитивного замикання відношення використовують алгоритм Уоршалла. Під час вивчення даної теми необхідно розглянути за­га­льну ха­ракте­рис­тику замикання відношень та основні принципи його по­бу­дови. Слід звер­нути увагу на алгоритм Уоршалла та особливості його реа­лі­за­ції. Сту­денти повинні навчитися визначати замикання відношення за певною властивістю.

Студенти повинні знати:

• загальну характеристику замикання відношень;

• типи замикання відношень та їх особливості;

• основні принципи визначення

• замикання від­но­шення за певною влас­­ти­­вістю;

• загальну характеристику шляхів у відношенні та методи їх визна­чен­ня;

• алгоритм Уоршалла та основні принципи його реалізації.

Студенти повинні вміти:

• визначати замикання відношення за певною властивістю;

• знаходити шляхи у відношеннях (транзитивне замикання).

Питання для самоконтролю:

1. Що представляє собою відношення на множині ?

13. Які властивості можуть мати відношення ?

14. Що називають замиканням відношення за певною властивістю ?

15. Яким чином можна отримати рефлексивне замикання відношення ?

16. Яким чином можна отримати симетричне замикання відношення ?

17. Як можна знайти транзитивне замикання відношення ?

18. Що називають шляхом між елементами у відношенні ?

19. Яке відношення називають з’єднувальним ?

20. Для чого використовують алгоритм Уоршалла ?

21. Які основні кроки має алгоритм Уоршалла ?

Рекомендована література:

Нікольський Ю. В., Пасічник В. В., Щербина Ю. М. Дискретна математика. – К.: Видавнича група BHV, 2007. – 197-201 с.