Тема 16. Машина Тьюрінга. Лінійно-обмежені автомати.

Мета вивчення теми:

Ознайомитися з загальною характеристикою машини Тьюрінга і лінійно-обмежених автоматів та особливостями їх функціонування.

Питання для опрацювання:

Загальна характеристика машини Тьюрінга та особли­вості її використання. Тезис Черча-Тьюрінга. Лінійно-обмежені автомати.

Методичні рекомендації:

Машина Тьюрінга – це математична модель пристрою, який породжує об­чи­с­­лю­ва­льні процеси. Її використовують для теоретичного уточнення поняття алго­ритму та його дослідження. Названо цю машину на честь англійського ма­те­ма­ти­ка Алана Тьюрінга, який запровадив її у 1936 році. У кожній машині Тьюрінга мож­на виді­ли­ти три частини: інформаційна стрічка, поділена на комірки; пристрій керу­ван­ня; каретка читання-запису (головка). Машина Тьюрінга є досить потуж­ним автоматом. Вона містить всі елементи скін­чен­ного автомата, крім того, її вхі­д­на стрічка нескінченна в обох напрямках, го­лів­ка (каретка), що зчитує, є також і тією, що друкує, вона може переміщатися вздовж стрічки в обох напрямках. Ма­ши­на Тьюрінга – це структура T = (S, I, f, s₀), де S – скінченна множина станів; I – скінченна множина допустимих символів стріч­ки, включає порожній символ ; f – відображення множини S  I у множину S  I  {L, R}, що визначає для комбінації стану і вхідного символу вибір наступ­но­го стану, друкований символ, напрямок переміщення голівки – L (ліворуч), R (пра­воруч); s₀ – початковий стан керуючого пристрою, s₀  S. Оскільки стрічка нескінченна, то інформація, яка повинна бути прочитана, займає лише частину стрічки. Порожні комірки займає символ . У початковому стані голівка встанов­лю­ється на першу зліва непорожню комірку і керуючий пристрій знаходиться у стані s₀ . Машина працює так, що її дії визна­ча­ю­ться функцією f. Машина зупи­ня­єть­ся, якщо для поточної комбінації стану і вхідного символу функція f не визна­че­на або машина перейшла у кінцевий стан (!). Може бути задана множина кінцевих станів. Кінцеві стани визначаються, в основному, коли машина моделює розпізна­ван­ня рядків.

Тезис Черча-Тьюрінга: за допомогою машини Тьюрінга можна моделювати будь-який обчислювальний процес, який можна назвати алгоритмом.

За допомогою машини Тьюрінга можна розпізнавати будь-які мови, визначені гра­ма­тиками загального виду. Машини Тьюрінга можуть моделювати не тільки розпізнавання рядків мови, але і будь-які інші обчислювальні алгоритми. Очевид­но, що для виконання таких найпростіших обчислень, як додавання або множен­ня, потрібні досить громіздкі машини Тьюрінга. Дещо спрощує структуру цих ма­шин додавання додаткових паралельних вхідних і вихідних стрічок. Але зро­зу­мі­ло, що машина Тьюрінга не є оптимальним пристроєм для практичного виконання обчислень або розпізнавання мов. Основна ціль їх створення полягає у дослід­жен­ні з їх допомогою питань складності алгоритму та алгоритмічної розв’язності. Якщо вдається довести, що для розв’язку деякої задачі неможливо побудувати ма­ши­ну Тьюрінга, то це означає, що не існує й алгоритму для її розв’язку.

Недетермінований розпізнавач, пам’яттю якого є первинна порожня стрічка ма­ши­ни Тьюрінга довжиною не більше вхідного ланцюжка, називається лінійно-обме­женим автоматом. Мова визначається лінійно-обмеженим автоматом тоді і тільки тоді, коли вона контекстно-залежна. Під час вивчення даної теми необ­хід­но розглянути за­га­льну ха­рак­те­рис­ти­ку ма­ши­ни Тьюрінга та особливості її функ­ціонування. Слід звер­нути увагу на лінійно обмежені автомати. основні способи за­дання регулярних мов. Сту­денти повинні навчитися використовувати машини Тьюрінга та лінійно-обмежені автомати для розпізнавання мов.

Студенти повинні знати:

• загальну характеристику та основні поняття теорії автоматів;

• тезис Черча-Тьюрінга та його застосування у теорії алгоритмів;

• загальну характеристику машини Тьюрінга та її призначення;

• основні принципи функціонування машини Тьюрінга;

• загальну характеристику лінійно-обмежених автоматів;

• основні принципи використання машин Тьюрінга та лінійно-обмежених автоматів для розпізнавання мов.

Студенти повинні вміти:

• використовувати позначення та основні поняття теорії автоматів;

• виконувати побудову машин Тьюрінга та лінійно-обмежених автоматів;

• використовувати машини Тьюрінга та лінійно-обмежені автомати для розпізнавання мов.

Питання для самоконтролю:

1. Для розв’язку яких задач використовують теорію автоматів?

13. Що представляє собою машина Тьюрінга ?

14. З яких частин складається машина Тьюрінга ?

15. Яким чином можна задати функціонування машини Тьюрінга ?

16. Що представляє собою алфавіт зовнішніх символів машини Тьюрінга ?

17. Що представляє собою алфавіт внутрішніх станів машини Тьюрінга ?

18. Що позначають символом l у машинах Тьюрінга ?

19. Які напрямки пересування може мати каретка машини Тьюрінга ?

20. Що розуміють під командою у машинах Тьюрінга ?

21. Що називають конфігурацією машини Тьюрінга у момент часу t ?

22. Які мови визначає машина Тьюрінга ?

23. Що представляє собою тезис Черча-Тьюрінга ?

24. Для чого використовують машини Тьюрінга ?

25. Що називають лінійно-обмеженим автоматом ?

26. Які мови визначає лінійно-обмежений автомат ?

Рекомендована література:

Бондаренко М. Ф., Білоус Н. В., Руткас А. Г. Комп’ютерна дискретна математика: Підручник. – Харків: «Компанія СМІТ», 2004. – 402-406 с.

Список рекомендованої літератури

1. Ахо А. В., Хопкрофт Д. Э., Ульман Д. Д. Структуры данных и алгоритмы. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2007. – 400 с.

2. Бардачов Ю. М., Соколова Н. А., Ходаков В. Є. Дискретна математика: Підручник. – К.: Вища школа, 2007. – 383 с.

3. Бондаренко М. Ф., Білоус Н. В., Руткас А. Г. Комп’ютерна дискретна математика: Підручник. – Харків: «Компанія СМІТ», 2004. – 480 с.

4. Глибовець М. М. Основи комп’ютерних алгоритмів. – К.: Видавничий дім „КМ Академія”, 2003. – 452 с.

5. Кривий С. Л. Дискретна математика: Вибрані питання. – К.: Видавничий дім „Києво-Могилянська академія”, 2007. – 572 с.

6. Нікольський Ю. В., Пасічник В. В., Щербина Ю. М. Дискретна математика. – К.: Видавнича група BHV, 2007. – 368 с.

7. Новиков Ф. А. Дискретная математика для программистов: Учебник для вузов. – СПб.: Питер, 2009. – 384 с.

36