Тема 11. Максимальні потоки в мережах.

Мета вивчення теми:

Ознайомитися з загальною характеристикою зважених мереж та розглянути алгоритм Форда і Фалкерсона для визначення максимальних потоків у мережах.

Питання для опрацювання:

Основні поняття та власти­вос­ті зважених мереж. Пропускні здатності пере­рі­зів. Теорема та алгоритм Форда і Фалкерсона для визначення максимальних потоків у мережах.

Методичні рекомендації:

Мережею називають звичайний однобічнозв’язний орієнтований граф. Звичайним орієнтованим графом вважатимемо орієнтований граф без петель і кратних дуг. Орієнтований граф називають однобічнозв’язним, якщо для будь-яких двох його вершин існує шлях хоча б в одному напрямку.

Будемо розглядати зважену мережу D = (V, E), де вагу l(e)  0 дуги е назива­ти­ме­мо пропускною здатністю дуги е. Позначимо через Е_v– множину дуг, що ви­хо­дять із вершини v, а через Е_v+ – множину дуг, що заходять у вершину v. По­то­ком у ме­ре­жі D = (V, E) з вершини v₀ до вершини v_k називають таку вагову функцію , визна­чену на множині Е дуг мережі D, що:

S називають величиною потоку , вершину v₀ – джерелом, а вершину v_k – стоком по­току j, всі інші вершини мережі D – проміжними вузлами.

Величину називають чистим потоком із вершини v. j(е) на­зивають потоком по дузі е. Задачею про максимальні потоки у мережах нази­ва­ють задачу визначення максимального чистого потоку j₀ з вершини v₀ у вершину v_k . Дугу е, що належить області визначення потоку j у мережі D = (V, E), нази­ва­ють насиченою, якщо j(е) = l(e). Потік у мережі D = (V, E) називають насиченим, якщо в ньому насичена дуга.

Розглянемо такі розбиття множини вершин мережі D = (V, E) на дві підмножини V₀ і V_k , що джерело і стік належать різним підмножинам, і відповідні їм пере­рі­зи. Вважають, що ці перерізи відокремлюють v₀ від v_k . Суму пропускних здатностей дуг перерізу С, які починаються в V₀ і закінчуються у V_k , називають пропускною здатністю перерізу С та позначають l(C).

Теорема (Форда і Фалкерсона): Максимальний потік із вершини v₀ у v_k дорівнює мінімальній пропускній здатності перерізу, що відокремлює v₀ від v_k .

Доведення теореми – це алгоритм визначення максимального потоку в мережі. Алго­ритм Форда і Фалкерсона починає роботу з будь-якого потоку і є скінченним. Він складається з двох основних етапів: насичення потоку та збільшення його ве­ли­чини. Алгоритм Форда і Фалкерсона застосовний і для мереж, в яких є декілька джерел і стоків. Для цього мережа перетворюється так, що додаються дві фіктивні вершини – джерело і стік. Фіктивне джерело з’єднується з усіма дійсними дже­ре­лами, цим дугам приписується потік відповідних джерел. Від кожного дійсного сто­ку додається дуга до фіктивного стоку, якій приписується потік відповідного стоку. Пропускні здатності відповідних дуг вважатимемо нескінченними.

Твердження: Величина будь-якого потоку з вершини v₀ у вершину v_k не переви­щує пропускну здатність будь-якого перерізу, що відокремлює v₀ від v_k .

Під час вивчення даної теми необхідно розглянути за­га­льну ха­рактеристику зва­же­­них мереж та алгоритм Форда і Фалкерсона для визначення максимальних по­то­ків у мережах. Слід звер­нути увагу на визначення потоків та пропускних зда­т­ностей перерізів у мережах. Сту­денти повинні навчитися знаходити максимальні потоки в мережах.

Студенти повинні знати:

• загальну характеристику та основні поняття теорії графів;

• теорему та алгоритм Форда і Фалкерсона для визначення максимальних потоків у мережах;

• основні поняття та властивості зважених мереж.

Студенти повинні вміти:

• використовувати позначення та основні поняття теорії графів;

• визначати потоки та пропускні здатності перерізів у мережах;

• використовувати алгоритм Форда і Фалкерсона для визначення максимальних потоків у мережах.

Питання для самоконтролю:

1. Що представляє собою зважена мережа ?

2. Що називають потоком у зваженій мережі ?

3. Який потік називають чистим у зваженій мережі ?

4. Що називають величиною (джерелом, стоком) потоку ?

5. Який потік називають насиченим у зваженій мережі ?

6. Що представляє собою пропускна здатність перерізу ?

7. Що представляє собою теорема Форда і Фалкерсона ?

8. З яких етапів складається алгоритм Форда і Фалкерсона ?

9. Для чого використовують алгоритм Форда і Фалкерсона ?

10. Чи можна застосовувати алгоритм Форда і Фалкерсона до мереж, в яких є декілька джерел і стоків ?

Рекомендована література:

Бардачов Ю. М., Соколова Н. А., Ходаков В. Є. Дискретна математика: Підручник. – К.: Вища школа, 2007. – 297-302 с.