3.8. Определение весовых коэффициентов алгоритма

Значение весовых коэффициентов алгоритма. В формулы (3.8, 3.13) для уменьшения влияния погрешности введен параметр . Этот параметр следует увеличивать при увеличении величины погрешности. Однако погрешности редко бывают известны заранее, поэтому трудно вычислить оптимальное . Исследуем в связи с этим, как влияет на скорость сходимости неоптимальный выбор , то есть алгоритм уточнения (3.9). Умножая скалярно (N) на (N), из формулы (3.9) получаем выражение для суммарной ошибки:

^T(N)(N) = ^T(N – 1)(N– 1) + {[^T(N – 1)k(N)]²k^T(N)k(N)}

[+k^Т(N)k(N)]^–2 – 2[^T(N – 1)k(N)]²[ + k^T(N)k(N)]^–1. (3.22)

Условие сходимости сводится к тому, что ошибка в N-м такте ^T(N)(N) меньше ошибки в предыдущем такте ^T(N–1)(N–1), т. е. должно быть

Q(N) = ^T(N – 1)(N – 1) – ^T(N)(N) > 0. (3.23)

Из выражений (3.22) и (3.23) следует, что

Q(N) = [^T(N – 1)k(N)]²[2 + k^T(N)k(N)][ + k^T(N)k(N)]^–2.

Чем больше величина Q, при прочих равных условиях, тем лучше алгоритм. Очевидно, что условие сходимости не нарушается при любом неотрицательном , а максимальная величина шага, при отсутствии помех, будет при  равном нулю. Исследуем влияние величины у на скорость сходимости алгоритма. Учтем, что при =0 использование одних и тех же исходных данных для многократного исправления оценок коэффициентов по алгоритму (3.14) не имеет смысла, так как дополнительного уточнения оценок не происходит. Но при   0 повторные подстановки приводят к изменению оценок.

Произведем уточнение оценок по формуле

x(N) = x(N – 1) + (N)k(N),

где скаляр

(N) = ^T(N – 1)k(N)[ + k^T(N)k(N)]^–1.

Поскольку вектор x(N + 1) равен вектору x(N), то для (N +1) получим

(N + 1) = (N)k(N + 1)[ + k^T(N + 1)k(N + 1)]^–1.

Выражая (N + 1) через (N), получаем

(N + 1) = [ + k^T(N)k(N)]^–1(N).

После s-кратного использования одних и тех же данных, произведя такую операцию s раз и вычислив соответствующие оценки, получим

x(N+s)=

=x(N–1)+{1– [/( + k^T(N)k(N))]^s}{1– [ + k^T(N)k(N)]^–1}(N)k(N).

В пределе при s   формула упростится и примет вид

x(N + ) = x(N – 1) + ^T(N – 1)k(N)[k^T(N)k(N)]^–1k(N).

Используя повторные подстановки бесконечное число раз для любого , получим тот же результат, что при одном, но оптимальном шаге. Иначе говоря, при , не равном нулю, выгодно производить уточнение оценок параметров вычислительной модели AОЭИ, даже если входные воздействия не изменяются.

Выбор величины весовых коэффициентов алгоритма. Анализ характеристик качества АОЭИ в работе [3] показал, что при определении характеристик его вычислительной модели, входные и выходные воздействия которых измеряются с погрешностями, для увеличения сходимости алгоритма выбирают величину параметра . При неточном задании входного и неточного измерения выходных величин, оптимальное значение для i-ого шага равно

_опт(N) = _i²(N){²(N) + [ _i_i(N)]²}[ _i(N – 1)z_i(N)]^–2.

Для упрощения данного выражения учтем, что среднее значение суммы _i²(N) в его числителе при нормированных к дисперсии входах равно n. Второй сомножитель в числителе (сумма ошибки измерения выхода и приведенных к выходу погрешностей измерения входных переменных) – это минимально возможная погрешность предсказания. В знаменателе стоит погрешность предсказания выхода по контролируемым входам. Для параметра , обеспечивающего максимальную скорость сходимости на границе зоны сходимости, где погрешность предсказания минимальна, при нормированых к дисперсии входных величинах, имеем

_опт = n, (3.24)

где n – размерность алгоритма.

При больших погрешностях предсказания, больших ^Tz (на начальных шагах алгоритма), использование , равного n, приведет к проигрышу в скорости сходимости по сравнению с максимально возможной, но по мере уточнения модели скорость сходимости будет увеличиваться и приближаться к оптимальной при наличии погрешности измерения. С приемлемой для практики точностью, оптимальное значение  не зависит на границе зоны сходимости от отношения величины переменной к погрешности ее измерения, поскольку с улучшением этого отношения уменьшается и зона сходимости. При отсутствии погрешностей на входе, можно выбирать  меньше, чем задано условием (3.24), а при полном отсутствии погрешностей и вовсе следует принимать  = 0. При использовании одношагового алгоритма никогда не следует увеличивать  больше, чем до n.