3. Телеграфные уравнения

Длинные линии передачи сигналов или линии Лехера – это многопроводные системы, состоящие из параллельных проводников (как минимум двух), вдоль которых могут распространяться электромагнитные волны. Поперечные размеры таких систем малы по сравнению с продольными размерами и по сравнению с длиной волны, т.е. для них выполняется неравенство >>w, где  - длина волны в линии передачи, w – характерный поперечный размер линии. Это неравенство называется условием квазистационарности, при этом распределение переменных во времени электромагнитных полей в этой ДЛ, в поперечном сечении, почти такое же, как и в ДЛ, работающей на постоянном токе. Впервые ДЛ появились в 30-х годах 19 века. Сначала они применялись только для нужд телеграфии, а в последней четверти 20 века их стали использовать для передачи электроэнергии переменного тока. Значительным событием была прокладка первого трансатлантического кабеля в 1858 г. Поздравительная телеграмма по случаю этого праздника от английской королевы Виктории президенту США, длиной в 100 слов, заняла около 16 часов передачи. По наземным линиям в то время уже нормальной была скорость передачи 25 слов в минуту. Связисты обнаружили, что при подаче напряжения на одном конце кабеля оно не сразу же появлялось на другом конце (скачкообразно), а достигало установившегося значения через определенный, достаточно длинный, промежуток времени. При отключении напряжения на передающем конце линии напряжение на приёмном конце падало не резко, а медленно снижалось. В попытке обойти медлительность кабеля (для повышения скорости передачи) на передающей стороне стали повышать напряжение, пока спустя 11 недель не пробили изоляцию кабеля. После этого он стал бесполезным. Через 8 лет проложили другой кабель, только после того, как решили многие задачи теории передачи данных с использованием проводных линий связи. При этом активное участие принял Вильям Томсон (позже ставший лордом Кельвиным).

Различают экранированные ДЛ (простейшая – коаксиальный кабель) и открытые (простейшая – двухпроводная линия из двух параллельных цилиндрических проводников). Для частот вплоть до 1 ГГц вполне применимы понятия напряжения между проводниками и тока текущего по проводнику. При более высоких частотах переходят к распределенным характеристикам – напряженности электрического и магнитного полей, которые можно измерить в пространстве между проводящими поверхностями. В идеальной ДЛ (без потерь энергии) распространяются только волны (ТЕМ моды), в которых электрическое и магнитное поля строго поперечны (перпендикулярны к направлению распространения волны). Распределение этих полей по сечению ДЛ в точности повторяет распределение полей в системе цилиндрических проводников с продольными токами. Т.е. поля описываются уравнениями электростатики и магнитостатики. В многопроводных линиях может распространяться N-1 (N – число проводников) независимых мод (типов колебаний). Это используется для организации многоканальной связи. Все ТЕМ моды распространяются со скоростью света, соответствующей среде, заполняющей длинную линию. При теоретическом описании процессов в такой линии, благодаря квазистационарной поперечной структуре полей, можно оперировать не с полями, а с токами и напряжениями, которые связаны между собой системой телеграфных уравнений. Они выводятся на основе уравнения непрерывности и закона Ома в интегральной форме для цепей, содержащих индуктивности L, ёмкости C, сопротивление проводников R и проводимости диэлектрика G:

Вводя погонные индуктивность L₀, ёмкость C₀, сопротивление проводников R₀ и проводимость диэлектрика G₀ (в пространстве между проводниками), получим систему уравнений:

.

Здесь погонные константы ДЛ (с нулевым индексом) определяются соотношениями: , , , , где - длина куска ЛП, обладающая индуктивностью L, ёмкостью С, сопротивлением R и проводимостью диэлектрика G. В данной системе уравнений можно сделать предельные переходы:

,

,

.

После чего система уравнений, носящая название системы телеграфных уравнений, приобретёт вид:

Общее решение системы телеграфных уравнений при постоянных величинах , , нулевых значениях R₀ и G₀ для бегущей волны имеет вид:

где - волновое сопротивление ДЛ находится из соотношения –

а групповая скорость распространения волн при этом равна:

Волновое сопротивление длинной линии, используемой в данной работе, можно рассчитать используя аналогию с полосковыми линиями передачи (см. Л.Г. Малорацкий «Микроминиатюризация элементов и устройств СВЧ» , стр. 29

.

При использовании в качестве диэлектрика воздуха можно принять . В этом случае формула для волнового сопротивления принимает вид:

, что для и, расстояния между центральным проводом и заземленной плоскостью , дает значение Ома. Истинное значение волнового сопротивления можно определить, измеряя конкретные характерные размеры длинной линии.

Эта скорость является предельной при малом погонном активном сопротивлении проводящих поверхностей и малой погонной проводимости диэлектрика ДЛ. Сигналы при этом, по ДЛ, распространяются без затухания и искажений. Оптимальное распространение в ДЛ возможно в режиме бегущей волны, когда линия передачи нагружена на сопротивление, равное волновому сопротивлению. Если в ДЛ есть потери, то переходит в , а переходит в . В этих обозначениях - проводимость диэлектрика на частоте , - удельное сопротивление проводников. С учетом этого, волновое сопротивление становится комплексным, и появляется сдвиг во времени между током и напряжением. Если линия нагружена на сопротивление отличное от волнового, то появляется стоячая волна, характеризуемая коэффициентом стоячей волны по напряжению (если измеряется напряжение):

,

где – максимальная амплитуда напряжения (в пучности волны), _– минимальная амплитуда напряжения (в узле волны), |Г| - модуль коэффициента отражения от неоднородности, введенной в линию передачи.

4. Измерительная установка

В качестве генератора СВЧ в данной установке используется генератор дециметрового длин волн (частота 300 МГц – 3000 МГц) с выходным напряжением не менее 1 В, с возможностью перестройки частоты.

Функциональная схема устройства для исследования свойств ДЛ представлена на рис. 1. С помощью этого устройства можно исследовать распределение напряжения вдоль ДЛ.