2.3. Многокритериальные задачи принятия решений

В данном случае эффективность стратегии c характеризуется рядом критериев (показателей) u₁(c), u₂(c),.., u_s(c), образующих векторный критерий U=(u₁,u₂,…,u_s). Для упрощения изложения будем рассматривать детерминированный случай – выбираемая стратегия однозначно приводит к некоторому результату. Далее будем полагать, что стратегию следует выбирать так, чтобы максимизировать каждый из показателей (если показатель u_i следует минимизировать, то достаточно взять вместо u_i новый показатель u_i′= − u_i).

На практическом занятии рассматриваются два подхода к решению многокритериальных задач.

Первый подход заключается в сведении многокритериальной задачи к однокритериальной. Методом, представляющим этот подход, является пороговая оптимизация. В данном случае все показатели (критерии), кроме одного, главного, переводятся в разряд ограничений. Тогда задача выбора оптимальной стратегии заключается в выборе стратегии, обеспечивающей максимальное значение главного критерия (пусть это u₁), т.е.

при выполнении ограничений

Таким образом, процедура решения многокритериальной задачи с помощью пороговой оптимизации заключается в определении множества допустимых стратегий С_доп

с последующим определением с^* перебором значений u₁(c_i) для всех с_i C_доп.

Процедура построения множества C_доп состоит из (s−1) шагов. Обозначим через С₀ исходное множество стратегий, С₀={c₁, c₂,…, c_m}, через С_к множество стратегий после k-го шага.

На k-м, k=1,2,…,s−1, шаге для всех проверяют выполнение условия

Если условие выполняется, то c_i оставляют в C_k-1.

Если условие не выполняется, то c_i исключают из C_k-1.

В результате после k-го шага определяют C_k.

После (s−1)-го шага определяют множество C_доп=С_s-1.

Второй подход к решению многокритериальных задач представляет собой оптимизацию по последовательно применяемым критериям. Он применим, если имеются сведения об относительной важности отдельных (частных) критериев.

В случае, когда частные критерии строго упорядочены по важности так, что следует добиваться приращения более важного критерия за счет любых потерь по всем остальным менее важным критериям, применяют лексикографическое упорядочение стратегий. Лексикографическое отношение предпочтения формально задается следующим образом: стратегия c_i предпочтительнее стратегии c_j, если выполняется одно из s условий (предполагается, критерии пронумерованы в порядке убывания важности):

1) ;

2)

….………………………………… (2.1)

s)

Стратегии c_i и c_j эквивалентны, если выполняется условие

(2.2)

Оптимальной стратегией c^* является стратегия c_i, если для любой другой стратегии c_j выполняется одно из условий (2.1) или (2.2).

Процедура лексикографического упорядочения стратегий заключается в следующем:

1. Упорядочивают стратегии по критерию u₁. В результате получают группы, содержащие стратегии с равными значениями u₁ (группы располагают в порядке убывания значений u₁).

2. Упорядочивают по u₂ стратегии, равные по u₁, в результате внутри групп стратегий с равными u₁ получают подгруппы стратегий с равными u₂ (подгруппы в группах также располагают в порядке убывания значений u₂).

3. Упорядочивают по u₃ стратегии, равные по u₁ и u₂ и т.д. Процесс завершается, когда в каждой из подгрупп останется только одна стратегия, либо после упорядочения стратегий по всем критериям.

Существуют также многокритериальные задачи, в которых все критерии можно естественно упорядочить по важности, однако не столь жестко, как в лексикографическом случае. Для решения подобных задач применим метод последовательных уступок.

Процедура решения заключается в том, что вначале все критерии нумеруют в порядке убывания важности. Затем определяют и назначают величину «уступки» т.е. величину допустимого снижения значения u₁. Далее определяют при условии, что и назначают величину «уступки» ∆u₂ и т.д. Наконец, определяют при условии, что Полученная в итоге стратегия считается оптимальной, т.е.

Процедура решения многокритериальной задачи методом последовательных уступок состоит из (s−1) шагов. На k-м, k=1,2,…,s−1, шаге выполняют следующие действия:

1. Находят

2. Назначают ∆u_k.

3. Для всех проверяют условие

Если условие выполняется, то c_i оставляют в C_k-1.

Если условие не выполняется, то c_i исключают из C_k-1.

В результате после k-го шага определяют множество C_k.

После (s−1)-го шага находят c^* перебором значений для всех

Задачи

2.9. Определить с помощью метода пороговой оптимизации оптимальную стратегию для случая, когда максимизируется показатель u₁, пороговые значения показателей , составляют u_2доп=4, u_3доп=7, u_4доп=3; значения показателей обеспечиваемых стратегиями задаются таблицей

	u1	u2	u3	u4
c1	1	5	10	0
c2	6	3	7	4
c3	2	6	8	3
c4	5	4	6	2
c5	3	4	9	3

2.10. Упорядочить лексикографически стратегии для случая, когда значения показателей обеспечиваемых стратегиями c_i, задаются таблицей

	u1	u2	u3	u4
с1	5	2	2	5
с2	3	3	2	5
с3	4	2	4	3
с4	3	2	4	3
с5	5	2	4	3
с6	4	3	2	5
с7	4	2	4	5

2.11. Определить с помощью метода последовательных уступок оптимальную стратегию для случая, когда величина уступки составляет 10% от максимального значения показателя; значения показателей обеспечиваемых стратегиями задаются таблицей

	u1	u2	u3	u4	u5
c1	50	53	46	40	44
c2	45	56	40	44	50
c3	48	55	38	50	36
c4	43	58	42	52	39
c5	49	52	36	46	48
c6	46	60	35	47	35