4.4. Сравнительная оценка синтезированных сау

В результате применения операторного метода и метода отождествления высших производных при синтезе закона управления объектом были получены САУ, удовлетворяющие в обоих случаях критериальной стратегии.

Однако, несмотря на данное преимущество каждый из этих методов имеет свои существенные недостатки:

1. Операторный метод синтеза ЗУ приводит к получению трудно реализуемого управляющего устройства высокого порядка.

2. Метод отождествления высших производных приводит к формированию АСУ с ЗУ, содержащим производные высших порядков, вплоть до (n-1)-й, что делает закон практически нереализуемым, но теоритически применимым.

Раздел 5 Построение и исследование матрично векторных форм математических моделей (мм) уоу

5.1 Построение матрично-векторных(МВ) ММ УОУ

Для построения МВ-формы ММ неполных и многомерных УОУ используется прямой способ построения МВ ММ по структурной схеме УОУ. Если считать, что исследуемая в работе схема соответствует реальной физической или технической структуре объекта, МВ-форму легко получить, приняв за переменные состояния (ПС) выходные переменные всех входящих в схему динамических звеньев.

Переменные состояния для рассматриваемой схемы УОУ обозначены так, как показано ниже на рисунке 5.1.

Рисунок 5.1 – Схема УОУ с обозначением переменных состояния

Поскольку все ДЗ схемы имеют первый порядок, то последовательная запись их ДУ в систему в форме Коши, в которой входной сигнал звена представлен с учетом полной структуры его формирования из ПС и входных воздействий, позволяет получить МВ форму ММ.

Для составления дифференциальных уравнений (ДУ) воспользуемся следующими преобразованиями:

Для , получим: .

Для , получим: .

Для , получим: , где k₀=b₁; k₁=b₀–a₀k₀;.

В результате система ДУ будет иметь следующий вид:

Приведём к нормальной форме:

Вычислим коэффициенты k_i:

Таким образом, ДУ примет следующий вид:

Выведем значения переменных, введённых для упрощения преобразований:

Таким образом, значения временных переменных равны:

Подставим эти значения в ДУ:

Применив элементарные преобразования получим:

5.2 Проверка эквивалентности вход-выходной и матрично-векторной ММ

По системе ДУ, образующих МВ модель, построим структурную схему объекта и исследуем его в ППП CLASSIC (рисунок 5.2).

Рисунок 5.2 – Модель ДУ в CLASSIC

В основе построения структурной схемы по МВ описанию лежат правила:

Таблица 5.1 – Результаты ППП CLASIC и ППП Mathcad

Схема моделирования МВ формы ММ	Схема моделирования вход-выходной ММ
Канал u1-y1
Ном.Система Нули: z1 = -1.704973 z2 = -2.142854 z3 = -776.318235 Полюсы: p1 = -0.625000 p2 = -0.714286 p3 = -1.351351 p4 = -1.507201 p5 = -383.636313 Абсолютное затухание: 0.625 Относительное затухание: 0	Ном.Система Нули: z1 = -1.704973 z2 = -2.142857 z3 = -776.317469 Полюсы: p1 = -0.625000 p2 = -0.714286 p3 = -1.351351 p4 = -1.507199 p5 = -383.636186 Абсолютное затухание: 0.625 Относительное затухание: 0
Канал u1-y2
Ном.Система Нули: z1 = -0.625000 z2 = -0.714286 z3 = -1.704974 z4 = -776.315781 Полюсы: p1 = -0.625000 p2 = -0.714286 p3 = -1.351351 p4 = -1.507201 p5 = -383.636313 Абсолютное затухание: 0.625 Относительное затухание: 0	Ном.Система Нули: z1 = -0.625000 z2 = -0.714286 z3 = -1.704973 z4 = -776.317469 Полюсы: p1 = -0.625000 p2 = -0.714286 p3 = -1.351351 p4 = -1.507199 p5 = -383.636186 Абсолютное затухание: 0.625 Относительное затухание: 0
Канал u2-y1
Ном.Система Нули: z1 = -1.351351 z2 = -2.142849 z3 = -13.513514 Полюсы: p1 = -0.625000 p2 = -0.714286 p3 = -1.351351 p4 = -1.507201 p5 = -383.636313 Абсолютное затухание: 0.625 Относительное затухание: 0	Ном.Система Нули: z1 = -1.351351 z2 = -2.142857 z3 = -13.513514 Полюсы: p1 = -0.625000 p2 = -0.714286 p3 = -1.351351 p4 = -1.507199 p5 = -383.636186 Абсолютное затухание: 0.625 Относительное затухание: 0
Канал u2-y2
Ном.Система Нули: z1 = -0.625000 z2 = -0.714286 z3 = -1.351351 z4 = -13.513514 Полюсы: p1 = -0.625000 p2 = -0.714286 p3 = -1.351351 p4 = -1.507201 p5 = -383.636313 Абсолютное затухание: 0.625 Относительное затухание: 0	Ном.Система Нули: z1 = -0.625000 z2 = -0.714286 z3 = -1.351351 z4 = -13.513514 Полюсы: p1 = -0.625000 p2 = -0.714286 p3 = -1.351351 p4 = -1.507199 p5 = -383.636186 Абсолютное затухание: 0.625 Относительное затухание: 0

• для каждого ДУ в схему добавляется интегратор (звено с ), входным сигналом которого является производная переменной состояния ( ), а выходным – сама переменная состояния ;

• в соответствии с ДУ на вход интегратора через усилительные звенья подаются входные воздействия и переменные состояния;

выходные сигналы формируются по уравнению наблюдения как сумма переменных состояния.

Значения нулей, полученные по матрично-векторной ММ и вход-выходной ММ, практически совпадают. Следовательно, преобразования были выполнены корректно.

5.3 Построение передаточной матрицы УОУ по МВ ММ

Запишем модель объекта в матрично-векторной форме. Вычислим далее передаточную матричную функцию многомерной системы с помощью алгоритма Леверье – Фадеева.

(5.1),

где - вектор переменных состояния, - вектор входных значений - вектор выходных воздействий.

Системная матрица А:

Матрица управления В:

Матрица наблюдений С:

Матрицу , задающую связь между векторами выхода и входа называют передаточной матричной функцией многомерной системы. Её построение проще осуществляется с использованием алгоритма Леверье – Фадеева, который состоит в следующем:

Представим передаточную матричную функцию как отношение двух полиномов:

, (5.2)

где – характеристический полином, – некоторый матричный полином

Коэффициенты и матрицы можно вычислить по следующим формулам:

Окончательно

Данный алгоритм для нашего УОУ реализуем с помощью Mathcad (файл 5_3.xmcd прилагается):

Итерация 1

Итерация 2

Тогда передаточна матрица равна:

Сравним полученные канальные ПФ с полученными ранее ПФ в разделе 2.2 данной курсовой работы:

;

;

;

.

Как видим полученные разными путями ПФ практически совпадают, несовпадения объясняются погрешностями в вычислениях.

5.4 Исследование и преобразование матрично-векторных ММ УОУ

Системная матрица А:

Матрица управления В:

Матрица наблюдений С:

5.4.1 Исследование управляемости УОУ и его каналов воздействия на выходные переменные

В данном пункте приводится оценка управляемости и наблюдаемости. Эти свойства исследуются как по отдельным его входам и выходам, так и для объекта в целом.

Управляемость – свойство динамической системы, при которой её можно перевести из любого начального состояния x0 в любое конечное за конечный промежуток времени.

Для построения и оценки матриц управляемости и наблюдаемости используется ППП MathCAD.

Свойство управляемости оценивается матрицей управляемости:

. (5.3)

Динамическая система является вполне управляемой, если ранг матрицы равен . Система не вполне управляема, если ранг матрицы меньше и больше 0. Система является полностью неуправляемой, если ранг матрицы управляемости равен нулю.

Формула для нахождения матрицы управляемости:

,

где A- системная матрица, B – входная матрица, С – матрица наблюдения.

n=5 – порядок системы.

Оценка управляемости УОУ по входу u1

Оценка управляемости УОУ по входу u1

Вывод: система вполне управляема по входу , т. к. ранг матрицы равен порядку системы – 5.

Оценка управляемости УОУ по входу u2

Вывод: система частично управляема по входу u2, т. к. ранг матрицы меньше порядка системы и равен 4.

Дефект d = n – r(My) = 5 – 4 = 1.

Оценка управляемости системы в целом

Оценка управляемости системы в целом

Вывод: в целом система вполне управляема, т. к. ранг матрицы равен порядку системы – 5.