Раздел 2 Построение и исследование «вход-выходных» математических моделей условного объекта управления и выработка общей критериальной стратегии синтеза законов управления
2.1 Упрощение схемы
Преобразуем схему УОУ, полученную в 1 разделе курсовой работы, для упрощения дальнейших вычислений.
Расчёты, производимые в данной части курсовой работы осуществлены при помощи ППП Mathcad. Файл с вычислениями – 2.xmcd прилагается.
Сначала разделим
сумматор, стоящий перед звеном
на два соединённых последовательно, а
так же перенесём сумматор через звено
и через сумматор (рисунок 2.1). При переносе
через сумматор вперёд по сигналу нужно
добавить звено, через которое переносим
в ветвь, идущую в сумматор. При переносе
сумматора через сумматор ничего не
изменяется.
Рисунок 2.1 – Результат преобразований
Преобразуем
последовательно соединённые звенья
и
к одному эквивалентному звену
,
а так же свернём единичную обратную
связь звена W2,9
к эквивалентному звену
и перенесём сумматор через звено и
сумматор (рисунок 2.2).
;
.
Рисунок 2.2 – Результат преобразований
Преобразуем
последовательно соединённые звенья
и
в эквивалентное звено
,
и
в эквивалентное звено
;
а так же обратную связь в эквивалентное
звено
(рисунок 2.3).
Рисунок 2.3 – Результат преобразований
Перенесём сумматор
через звено
,
добавив при этом звено
в ветвь
,
и через сумматор и преобразуем параллельную
связь
и
и получим
эквивалентное звено
.
Так же перенесём
выход
через звено
и через узел, и преобразуем параллельную
связь
и
,
получим при этом эквивалентное звено
(рисунок 2.4).
;
Рисунок 2.4 – Результат преобразований
Преобразуем
последовательные соединения звеньев
и
к эквивалентному звену
и звенья
и
к эквивалентному звену
(рисунок 2.5) и получим упрощённую схему
УОУ (рисунок 2.6).
.
Рисунок 2.5 – Результат преобразований
Рисунок 2.6 – Упрощённая схема УОУ
Математические модели структурных звеньев упрощённой схемы:
;
;
;
;
.
2.2. Получение математической модели УОУ
Структурная схема
заданного ОУ является 4-х канальной, то
есть она имеет два входа (
,
)
и два выхода (
,
).
Поэтому систему можно описать двумя
операторными уравнениями:
(2.1)
где
– передаточная функция (ПФ) канала «вход
– выход
»
(
и
).
Свойства системы
можно описать матрицей ПФ размерностью
2×2, каждый элемент которой
(
)
представляет собой динамические
характеристики канала
–
:
(2.2)
Таким образом, необходимо осуществить преобразование структурной схемы условного объекта управления и построить его ММ в виде ПФ по всем каналам: « - »; « - »; « - »; « - ».
Найдем ПФ по каждому каналу с помощью ручных преобразований (при этом будем принимать внешние воздействия, не входящие в канал равными нулю). Для дальнейших вычислений будем использовать упрощённые схемы, полученные в предыдущем подразделе, при этом будем выбирать те схемы, в которых нужные вход и выход не подвергались манипуляциям.
Канал –
При рассмотрения канала будем использовать схему с рисунка 2.4.
После того, как были убраны ненужные входы и выходы схема приняла следующий вид (рисунок 2.7). Для получения ПФ канала необходимо преобразовать параллельные связи и , и (данные вычисления уже проводились звенья и соответственно). Далее необходимо преобразовать последовательное соединение звеньев.
Рисунок 2.7 – Исследование канала –
Канал –
При рассмотрения канала будем использовать схему с рисунка 2.4.
После того, как были убраны ненужные входы и выходы схема приняла следующий вид (рисунок 2.8). Для получения ПФ канала необходимо преобразовать параллельное соединение звеньев и , в эквивалентное звено (данные вычисления производились ранее), далее необходимо преобразовать последовательное соединение. Так же необходимо числитель и знаменатель получившейся функции умножить на и , так как они отсутствуют на схеме.
Рисунок 2.8 – Исследование канала –
Канал –
При рассмотрения канала будем использовать схему с рисунка 2.4.
После того, как были убраны ненужные входы и выходы схема приняла следующий вид (рисунок 2.9). Для получения ПФ канала необходимо преобразовать параллельное соединение звеньев и , в эквивалентное звено (данные вычисления производились ранее), далее необходимо преобразовать последовательное соединение. Так же числитель и знаменатель функции необходимо умножить на и , так как они отсутствуют на схеме
Рисунок 2.9 – Исследование канала –
Канал –
При рассмотрения канала будем использовать схему с рисунка 2.6.
После того, как были убраны ненужные входы и выходы схема приняла следующий вид (рисунок 2.10).
Для получения ПФ канала необходимо преобразовать последовательное соединение звеньев.
Рисунок 2.10 – Исследование канала –
Таким образом, мы получили следующие передаточные функции для каналов:
;
;
.
Результаты вычислений округлены до шести знаков после запятой.
Проверим результаты вычислений с показаниями ППП CLASSIC. На рисунке 2.11 представлена схема, построенная в программе (файл 2.MDL прилагается), а на рисунке 2.12 представлены результаты работы программы для каналов.
Рисунок 2.11 – Схема УОУ, построенная в ППП CLASSIC
канал – канал –
канал – канал –
Рисунок 2.12 – Результаты работы ППП CLASSIC для каналов
Сравним результаты: ПФ каналов – и – , полученные с помощью ППП Mathcad, имеют в числителе старшую степень на порядок выше, чем ПФ этих же каналов, полученных с помощью ППП CLASSIC, но коэффициенты при этих степенях ничтожно малы. Произошло так называемое «псевдо повышение степени», оно вызвано погрешностью округлений ППП CLASSIC. В целом функции каналов совпадают, следовательно преобразования были проведены верно.
2.2 Преобразование передаточных функций УОУ
Преобразуем полученные выше ПФ УОУ по каналам к основным стандартным формам представления.
Одной из наиболее распространенных форм представления ПФ сложного динамического звена (ДЗ) является нормальная:
,
(2.3)
где полином Вн(р) имеет единичные коэффициент при старшей степени p.
Приведем канальные передаточные функции к нормальной форме.
;
;
;
.
Широко используется также представление ПФ в канонической форме:
, (2.4)
где полиномы Aк(р) и Вк(р) имеют единичные свободные члены.
;
;
;
.
2.3 Исследование условного объекта управления
По канонической форме ПФ объекта управления проведем анализ его свойств как динамического звена по всем каналам. При этом оцениваются такие его свойства, как порядок, статизм или астатизм.
а Астатизм. Порядок астатизма каждого из каналов равен 0, так так интегрирующие звенья отсутствуют.
б Порядок системы.
Порядок системы определяется порядком
полинома знаменателя:
.
Для того, чтобы продолжить исследование свойств ОУ как динамического звена (оценить его быстродействие, колебательность, форсирующие свойства) представим передаточные функции УОУ в виде произведения ПФ элементарных типовых звеньев:
,
(2.5)
где
- количество выделенных звеньев.
Для этого с помощью
ППП CLASSIC
найдем корни полиномов числителя (нули
)
и знаменателя (полюса
)
канальных ПФ и представим их в виде
элементарных полиномов по формуле
(таблицы 2.1 – 2.4):
, (2.6)
где для действительных
корней
полинома
,
а
– их количество,
,
,
– действительная и мнимая части
-ой
пары комплексно-сопряжённых корней
полинома
,
– количество таких пар.
Таблица 2.1 – Нули, полюсы и полиномы для канала – :
-
№
Нули zi
Ti(zi)
Полюсы pi
Ti(Pi)
1
-1.704973
0.58652
-0.625000
1.6
2
-2.142857
0.466726
-0.714286
1.400011
3
-776.317469
0.001288
-1.351351
0.74
4
-1.507199
0.663482
5
-383.636186
0.002607
Таблица 2.2 – Нули, полюсы и полиномы для канала – :
-
№
Нули zi
Ti(zi)
Полюсы pi
Ti(Pi)
1
-0.625000
1.6
-0.625000
1.6
2
-0.714286
1.400011
-0.714286
1.400011
3
-1.704973
0.586512
-1.351351
0.74
4
-776.317469
0.001288
-1.507199
0.663482
5
-383.636186
0.00260664
Таблица 2.3 – Нули, полюсы и полиномы для канала – :
-
№
Нули zi
Ti(zi)
Полюсы pi
Ti(Pi)
1
-1.351351
0.74
-0.625000
1.6
2
-2.142857
0.466726
-0.714286
1.400011
3
-13.513514
0.074
-1.351351
0.74
4
-1.507199
0.663482
5
-383.636186
0.002607
Таблица 2.4 – Нули, полюсы и полиномы для канала – :
-
№
Нули zi
Ti(zi)
Полюсы pi
Ti(Pi)
1
-0.625000
1.6
-0.625000
1.6
2
-0.714286
1.400011
-0.714286
1.400011
3
-1.351351
0.74
-1.351351
0.74
4
-13.513514
0.074
-1.507199
0.663482
5
-383.636186
0.002607
Представим полученные корни в виде произведений элементарных полиномов (таблица 2.5):
Таблица 2.5 – Полиномы числителей и знаменателей каналов ОУ
-
Канал u1-y1
A11(p)
(0.58652p+1)(0.466726p+1)(0.001288p+1)
B(p)
(1.6p+1)(1.400011p+1)(0.74p+1)(0.663482p+1)(0.002607p+1)
Канал u1-y2
A12(p)
(1.6p+1)(1.400011p+1)(0.586512p+1)(0.001288p+1)
B(p)
(1.6p+1)(1.400011p+1)(0.74p+1)(0.663482p+1)(0.002607p+1)
Канал u2-y1
A21(p)
(0.74p+1)(0.466726p+1)(0.074p+1)
B(p)
(1.6p+1)(1.400011p+1)(0.74p+1)(0.663482p+1)(0.002607p+1)
Канал u2-y2
A22(p)
(1.6p+1)(1.400011p+1)(0.74p+1)(0.074p+1)
B(p)
(1.6p+1)(1.400011p+1)(0.74p+1)(0.663482p+1)(0.002607p+1)
Подставив полученные полиномы в ПФ в канонической форме, получим передаточные функции УОУ в виде произведения ПФ элементарных типовых звеньев:
;
;
;
.
По полученным передаточным функциям оценим свойства УОУ как динамического звена:
Быстродействие (время переходного процесса).
Определяется по
наибольшей постоянной времени
,
где Tмах
– наибольшее значение постоянной
времени.
Для всех каналов
наибольшее значение постоянной времени
1.6 с. Время переходного процесса
с.
Сравним с результатами ППП CLASSIC (таблица 2.6):
Таблица 2.6 – Времена регулирования каналов, полученные с помощьюППП CLASSIC
Канал |
Время регулирования, с |
Канал u1-y1 |
7.6352 |
Канал u1-y2 |
2.4217 |
Канал u2-y1 |
7.3337 |
Канал u2-y2 |
1.9242 |
Таким образом, время переходного процесса для каждого канала, полученное с использованием ППП Classic, удовлетворяет значению времени переходного процесса, полученного расчетным путем.
Колебательность.
Определяется по
наименьшим значениям показателей
.
Так как нет пар комплексно-сопряжённых
корней, то колебательность отсутствует.
Форсирующие свойства.
Определяются
отношением максимальных постоянных
времени числителя и знаменателя, т.е.
. Форсирующие свойства присутствуют,
если это отношение больше 1.
Таблица 2.7 – исследование форсирующих свойств каналов
Канал u1-y1 |
|
Канал u1-y2 |
|
Канал u2-y1 |
|
Канал u2-y2 |
|
Анализируя результаты расчетов, можно сделать вывод о том, что форсирующие свойства в УОУ отсутствуют.